$\triangle ABC$ の内接円の半径を $r$ とすると
$\ds{1\over2}r(4 + 7 + 5) = \ds{1\over2}\times4\times5\times\ds{2\sqrt6\over5}$
$r = \ds{8\sqrt6\over16} =\ds{\sqrt6\over2}$.
内接円の性質 (又は円の外から引いた二本の接線の性質) より
$AD = AE = \ds{5 + 4 - 7\over2} = 1$.
$\triangle ADE$ で (第二) 余弦定理により
$DE^2 = 1^2 + 1^2 - 2\times1\times1\times\ds{\left(-\ds{1\over5}\right)} =
\ds{12\over5}$.
従って $DE = \ds{2\sqrt3\over\sqrt5} = \ds{2\sqrt{15}\over5}$.
このことから, 実は $P = I$ であるということが分かって $IQ = PQ = r = \ds{\sqrt6\over2}$.
$P = I$ であったから $DF = 2r = \sqrt6$.
そして $DF$ が直径であることから, $\angle DEF$ が直角なので, 三平方の定理から
$EF = \ds{\sqrt{6-\ds{4\times15\over25}}} = \ds{\sqrt{30\times5 -
12\times5}\over5} = \ds{\sqrt{18\times5}\over5} = \ds{3\sqrt{10}\over5}$.
従って, 直角三角形 $DEF$ を考えて
$\cos\angle DFE = \ds{3\sqrt{10}\over5\sqrt6} = \ds{\sqrt{15}\over5}$.
図を描きながらやる。
$P = I$ に気付かないと難しい。
更に $\angle FED$ が直角であることに気付かないととても難しい。
$DE$ は数学 II でやる, 半角の定理を知っていると別のやり方も出来る。 (多分半角の公式を使った方が簡単に出来ると思う。)