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△ABC の内接円の半径を r とすると
12r(4+7+5)=12×4×5×2√65
r=8√616=√62.
内接円の性質 (又は円の外から引いた二本の接線の性質) より
AD=AE=5+4−72=1.
△ADE で (第二) 余弦定理により
DE2=12+12−2×1×1×(−15)=125.
従って DE=2√3√5=2√155.
このことから, 実は P=I であるということが分かって IQ=PQ=r=√62.
P=I であったから DF=2r=√6.
そして DF が直径であることから, ∠DEF が直角なので, 三平方の定理から
EF=√6−4×1525=√30×5−12×55=√18×55=3√105.
従って, 直角三角形 DEF を考えて
cos∠DFE=3√105√6=√155.
図を描きながらやる。
P=I に気付かないと難しい。
更に ∠FED が直角であることに気付かないととても難しい。
DE は数学 II でやる, 半角の定理を知っていると別のやり方も出来る。 (多分半角の公式を使った方が簡単に出来ると思う。)