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2019 センター試験 数学 I・A 第五問

ABC の内接円の半径を r とすると
12r(4+7+5)=12×4×5×265
r=8616=62.

内接円の性質 (又は円の外から引いた二本の接線の性質) より
AD=AE=5+472=1.

ADE で (第二) 余弦定理により
DE2=12+122×1×1×(15)=125.
従って DE=235=2155.

Ceva の定理より
BQCQ×41×13=1
故に BQCQ=34.

このことから, 実は P=I であるということが分かって IQ=PQ=r=62.

P=I であったから DF=2r=6.
そして DF が直径であることから, DEF が直角なので, 三平方の定理から
EF=64×1525=30×512×55=18×55=3105.
従って, 直角三角形 DEF を考えて
cosDFE=31056=155.


図を描きながらやる。

P=I に気付かないと難しい。
更に FED が直角であることに気付かないととても難しい。

DE は数学 II でやる, 半角の定理を知っていると別のやり方も出来る。 (多分半角の公式を使った方が簡単に出来ると思う。)