(1) $\sqrt3\cos\left(\theta -\ds{\pi\over3}\right)$
$=\sqrt3\left(\cos\theta\cos\ds{\pi\over3}+\sin\theta\sin\ds{\pi\over3}\right)$
$=\sqrt3\times\ds{1\over2}\cos\theta +\sqrt3\times\ds{\sqrt3\over2}\sin\theta$
$=\ds{\sqrt3\over2}\cos\theta+\ds{3\over2}\sin\theta$
従って,
$0 > \ds{\sqrt3\over2}\cos\theta+\ds{1\over2}\sin\theta =
\sin\left(\theta+\ds{\pi\over3}\right)$.
$0\leqq\theta < 2\pi$ より $\ds{\pi\over3} \leqq \theta + \ds{\pi\over3} < 2\pi
+ \ds{\pi\over3}$ なので
求める範囲は $\pi\leqq\theta+\ds{\pi\over3} < 2\pi$ つまり $\ds{2\over3}\pi < \theta <
\ds{5\over3}\pi$.
(2)
二次方程式の解と係数の関係から
$\sin\theta+\cos\theta = \ds{35\over25}=\ds{7\over5}$,
$\sin\theta\cos\theta = \ds{k\over25}$.
第一式の両辺を自乗して
$\left(\sin\theta+\cos\theta\right)^2 = \ds{49\over25}$
$1+2\sin\theta\cos\theta = \ds{49\over25}$
$2\sin\theta\cos\theta = \ds{24\over25}$
$\sin\theta\cos\theta = \ds{12\over25}$
従って第二式と比較して $k=12$.
よって元の方程式に代入して $25x^2 - 35x + 12 = 0$
$(5x - 3)(5x - 4) = 0$
故に
$x = \ds{3\over5}$, $\ds{4\over5}$.
$\sin\theta \geqq \cos\theta$ なので $\sin\theta = \ds{4\over5}$, $\cos\theta =
\ds{3\over5}$.
さてここで
$\sin0 =0$.
$\sin\ds{\pi\over12} = \sin\left(\ds{\pi\over3}-\ds{\pi\over4}\right) =
\ds{\sqrt6-\sqrt2\over4} = \ds{\sqrt2\left(\sqrt3 -
1\right)\over4}\fallingdotseq\ds{1.41\times0.73\over4} \fallingdotseq0.25$.
$\sin\ds{\pi\over6} = \ds{1\over2} = 0.5$.
$\sin\ds{\pi\over4} = \ds{1\over\sqrt2} = \ds{\sqrt2\over2} \fallingdotseq
\ds{1.4\over2} = 0.7$.
$\sin\ds{\pi\over3} = \ds{\sqrt3\over2} \fallingdotseq \ds{1.7\over2} = 0.85$.
であるから ${\pi\over4}\leqq\theta < \ds{\pi\over3}$. 即ち 3.
最後の範囲の決定が面倒なだけで, 難しくはないだろう。
ここで示したのは一寸細かくやり過ぎなので, 大体 $3:4:5$ の直角三角形を頭に浮かべれば, 大体正解が分かるので, あとは検算すればいいだけである。