(1) $y' = 2x + 2$ なので,
$l$: $y= (2t + 2)(x - t) + t^2 + 2t + 1$
$y = (2t + 2)x - 2t^2 - 2t + t^2 + 2t + 1$
即ち $y = (2t + 2)x - t^2 + 1$.
さて又,
$f'(x) = 2x - (4a - 2)$ より
$l$:
$y = (2s - 4a+2)(x - s) + s^2 - (4a-2)s + 4a^2 +1$.
$y = (2s - 4a+2)x - 2s^2 + (4a - 2)s + s^2 + (-4a + 2)s + 4a^2 + 1$
即ち
$y=(2s-4a+2)x-s^2+4a^2 + 1$.
この二つの直線の式が同じものであるから
$2t+2 = 2s-4a+2$,
$-t^2 +1 = -s^2 + 4a^2 + 1$.
これらを変形して
$t = s - 2a$,
$t^2 = s^2 -4a^2$.
上の式を下の式に代入すると
$(s - 2a)^2 = s^2 - 4a^2$
$s^2 -4as + 4a^2 = s^2 - 4a^2$
$as - a^2 = a^2$
$as = 2a^2$.
$a > 0$ なので $s = 2a$. したがって $t = 0$.
よって $l$: $y = 2x + 1$.
(2) $x^2 + 2x + 1 = x^2 - (4a - 2)x + 4a^2 + 1$ と置くと
$4ax = 4a^2$
$a > 0$ より $x = a$.
(3) $a > 1$ の時は $x\leqq 1 < a$ なので $T = S =\ds{1\over3}$ である。
$\ds{1\over2}\leqq a \leqq1$ の時は,
\begin{align} T &= \int^a_0 x^2\,dx + \int_a^1 \left(x^2-(4a-2)x + 4a^2+1 - (2x - 1)\right)\,dx \\ &= {a^3\over3} + \int_a^1 (x^2-4ax+4a^2)\,dx \\ &= {a^3\over3} + \int_a^1 (x - 2a)^2\,dx \\ &= {a^3\over3} + \left[{1\over3}(x -2a)^3\right]_0^a \\ &= {a^3\over3} + {1\over3}(1 - 2a)^3 - {1\over3}(-a)^3 \\ &= {2a^3\over3} + {1\over3}(-8a^3+12a^2-6a+1) \\ &= -{6\over3} + 4a^2 - 2a + {1\over3} \\ &= -2a^3 + 4a^2 - 2a + {1\over3}. \\ \end{align}
(4) $\ds{1\over2}\leqq a \leqq1$ の時
$U = 2T - 3S$
$= 2\left(-2a^3+4a^2-2a + \ds{1\over3}\right) - 3\times\ds{a^3\over3}$
$-5a^3 + 8a^2 - 4a + \ds{2\over3}$.
従って
$\ds{dU\over da} = -15a^2 + 16a - 4$
$= -(15a^2 - 16a + 4)$
$= -(3a - 2)(5a - 2)$.
| $a$ | $\ \ds{1\over2}\ $ | $\ \ds{2\over3}\ $ | $\ 1\ $ | ||
| $\ds{dU\over da}$ | × | $+$ | 0 | $-$ | × |
| $U$ | $\nearrow$ | 極大 | $\searrow$ |
従って $U$ は $a = \ds{2\over3}$ で最大値を取り, その最大値は
$-5\times\left(\ds{2\over3}\right)^3 + 8\times\left(\ds{2\over3}\right)^2 -
4\times\ds{2\over3} + \ds{2\over3}$
$= \ds{-40\over27} + \ds{32\over9} - \ds{8\over3} +\ds{2\over3}$
$= \ds{-40 + 96\over27} + 2$
$= \ds{56 - 54\over27} = \ds{2\over27}$.
教科書の演習問題程度。 難しくない。
去年の方が難しかったような気がする。