2020 センター試験 数学 I・A 第一問 [1]

(1) $a^2 - 2a - 8 = (a + 2)(a - 4) < 0$
なので
$-2 < a < 4$.

(2) $l$ と $x$ 軸の交点は.
$b = -\ds{a\over a^2 - 2a - 8}$
である。

$a > 0$ の時, $b > 0$ とは
$b = -\ds{a\over a^2 - 2a - 8} > 0$
だが $0 < a < 4$ の時は $b > 0$, $a > 4$ の時は $b < 0$ なので
$0 < a < 4$.

又 $a \leqq0$ の時 $b > 0$ とは
$b = -\ds{a\over a^2 - 2a - 8} > 0$ であるが,
$-2 < a \leqq0$ の時は $b < 0$, $a < -2$ の時 $b > 0$ なので, 結局 $a < -2$.

さて $a = \sqrt3$ とすると
$b = -\ds{\sqrt3 \over3 - 2\sqrt3 - 8}$
$= \ds{\sqrt3\over 5 +2\sqrt3} = \ds{\sqrt3\left(5 - 2\sqrt3\right)\over 25 - 12}$
$= \ds{5\sqrt3 - 6\over12}$.

分母に文字式があるので難しく感じられるかもしれないが, 大したことはない。