2020 センター試験 数学 I・A 第五問

Ceva の定理から $\ds{GB\over AG}\cdot\ds{1\over7}\cdot\ds{7\over1} = 1$ なので $\ds{GB\over AG} = 1$.

Menelaus の定理から

$\ds{FD\over AF}\cdot\ds{8\over1}\cdot\ds{1\over1} = 1$ だから $\ds{FD\over AF} = \ds{1\over8}$.
$\ds{FC\over GF}\cdot\ds{7\over1}\cdot\ds{1\over2} = 1$ だから $\ds{FC\over GF} = \ds{2\over7}$.

従って,
$\triangle BFG = \ds{1\over2}\triangle AFB = \ds{7\over9}\times\ds{1\over2}\triangle ABC = \ds{7\over18}\triangle ABC$.
$\triangle CDG = \ds{1\over8}\triangle BCG = \ds{1\over8}\times\ds{1\over2}\triangle ABC = \ds{1\over16}\triangle ABC$.

よって $\ds{\triangle CDG\over \triangle BFG} = \ds{\ds{1\over16}\over\ \ds{7\over18}\ } =\ds{1\over16}\times{18\over7} = \ds{9\over56}$.

方冪 (べき) の定理より
$AG\cdot AB = AF\cdot AD$
$\ds{1\over2}AB^2 = 8\times9$.
$AB^2 = 16\times9$.
$AB > 0$ より $AB = 4\times3 = 12$.

$AE = 3\sqrt7$ で $AC = \ds{8\over7}AE$ だから
$AE\cdot AC = \ds{8\over7}AE^2 = \ds{8\over7}\times3^2\times7 = 72$.

$AE\cdot EC = 72 = AF\cdot AD$ なので方冪 (べき) の定理の逆から四点 C, D, F, E も同一円周上にある。
すると例えば $\angle AGF = \angle FDB = \angle CEF$ となるから, 四点 A, G, F, E も同一円周上にあることになる。

よって $\angle AEG = \angle AFG = \angle ABC$ となるので, 2 となる。

最後が結構難しい。 それ以外は標準的だと思う。