2021 大学入学共通テスト (第二日程) 数学 II・B 第二問

[1] (1) $F'(x)=(x-a)(x-2)=(x-1)(x-2)$ ということだから

故 $x = 2$ で極小。

(2) 全ての $x$ に関し $F(x)$ が単調増加となるのは $a=2$ の時。
$F(0) = 0$ だから $a= 2$ ならば $F(2) > 0$.

(3) $a > 2$ とする。

$G(x) =\ds{\int_0^xf(t)\,dt+\int_b^0f(t)\,dt}$
$=F(x) - \ds{\int_0^bf(t)\,dt}$
$=F(x)-F(b)$
なので $y$ 軸方向に $-F(b)$ だけ平行移動したものである。

従って $G(x)$ は $x=2$ で極大, $x=a$ で極小。$G(b)=0$ なので, $b=2$ とすると

従って $G(x) = 0$ の解の個数は 2 個。

[2] $P$ では $x=-1 < 0$ であるから
$g(x) = -x(x+1) = -x^2-x$.
$g'(x) = -2x-1$
なので $g'(-1)=2-1=1$.

$g(x)=\ds{\left\{\begin{array}{cc} x^2+x, & x\geqq0 \\ -x^2-x, & x < 0 \end{array} \right.}$

$l$: $y=cx + c$.

$R$ は $x^2+x=cx+c$
$x(x+1)=c(x+1)$ だから, $x\neq-1$ ならば $x=c$.

$Q$ は $cx+c= -x^2-x$.
$c(x+1) = -x(x+1)$ だから $x\neq-1$ ならば $x=-c$.

$S=\ds{\int_{-1}^{-c}\left(-x^2-x-cx-c\right)dx}$
$= \ds{\int_{-1}^{-c}\left(-x^2-(c+1)x-c\right)dx}$
$= -\ds{\int_{-1}^{-c}\left(x^2+(c+1)x+c\right)dx}$
$= -\ds{\int_{-1}^{-c}(x+c)(x+1)dx}$
$=\ds{1\over\ 6\ }(-c+1)^3$
$= \ds{\ -c^3+3c^2-3c+1\ \over6}$.

$T = \ds{\int_{-c}^0\left(cx+c-\left(-x^2-x\right)\right)dx}+\ds{\int_0^c\left(cx+c-x^2-x\right)dx}$
$= \ds{\int_{-c}^0\left(cx+c+x^2+x\right)dx}+\ds{\int_0^c\left(cx+c-x^2-x\right)dx}$
$= \ds{\int_{-c}^c\left(cx+c\right)dx}+\ds{\int_{-c}^0\left(x^2+x\right)dx}-\ds{\int_0^c\left(x^2+x\right)dx}$
$= 2c^2 + \ds{\left[\ds{1\over\ 3\ }x^3+\ds{1\over\ 2\ }x^2\right]_{-c}^0-\left[\ds{1\over\ 3\ }x^3+\ds{1\over\ 2\ }x^2\right]_0^c}$
$=2c^2 + 0 - \ds{\left(-{1\over\ 3\ }c^3+\ds{1\over\ 2\ }c^2\right)}- \ds{\left({1\over\ 3\ }c^3+\ds{1\over\ 2\ }c^2\right)}$
$=2c^2+\ds{{1\over\ 3\ }c^3-\ds{1\over\ 2\ }c^2-{1\over\ 3\ }c^3-\ds{1\over\ 2\ }c^2}$
$= 2c^2-c^2=c^2$.

教科書の演習問題程度。 難しくない。