(1) 100 - (20 + 35) = 100 - 55 = 45 %.
平均は
$E(X) = \ds{100\times20+8\times35+6\times45\over100}
= \ds{200+280+270\over100}
=\ds{750\over100}=7.5$.
$E(X^2) = \ds{100\times20+64\times35+36\times45\over100}
= \ds{2000+2240+1620\over100}
= \ds{5860\over100}=58.6$.
なので
$V(X)=E(X^2)-E(X)^2
=58.6-7.5^2 = 2.35 = \ds{235\over100}=\ds{47\over20}$.
20 % は $\ds{1\over5}$ なので $E(Y) = \ds{a\over5}$.
45 % は $\ds{45\over100} = \ds{9\over20}$ なので
$V(Y) = a\times\ds{1\over5}\times\ds{4\over5}=\ds{4\over25}a$.
$V(Z) = a\times\ds{9\over20}\times\ds{11\over20} = \ds{99\over400}a$.
なので
$\ds{V(Z)\over V(Y)}
=\ds{\ \ds{99\over400}a\ \over\ds{4\over25}a}
= \ds{99\over400}\times\ds{25\over4}=\ds{25\times9\times11\over1600}$.
$\ds{\sigma(Z)\over\sigma(Y)} =\ds{\sqrt{\ds{V(Z)\over V(Y)}\ }}
= \ds{5\times3\sqrt{11\ }\ \over40} =\ds{3\sqrt{11\ }\ \over8}$.
$a = 100$ の時
$E(Y) = \ds{100\over5} = 20$.
$V(Y) =\ds{4\over25}\times100 = 16$.
よって $\sigma(Y) = 4$.
正規化すると
$\ds{28-20\over4}=\ds{8\over4}=2$.
表から $Z_0 \fallingdotseq 0.4772$ なので
$0.5 - 0.4772 = 0.0228\fallingdotseq0.023$ となる。
(2) $\sigma(\bar X) = \ds{\ds{\sqrt{640\ }}\over\ds{\sqrt{40\ }}} = \ds{\sqrt{\ds{64\over4}}}=\ds{8\over2}=4$.
$-1.96 \leqq \ds{m-120\over\sigma(\bar X)} \leqq 1.96$
$-7.84 \leqq m - 120 \leqq 7.84$.
$112.16\leqq m \leqq127.84$.
(3) 再度の調査の確率変数を $X_1$ とすると
$\sigma(\overline{X_1}) = \sqrt{\ds{640\over50}\ } = \sqrt{\ds{64\over5}\
}\leqq\sigma(\bar X)$
で $\sigma$ が小さくなるから区間が狭まるので ②.
$\sqrt{\ds{640\over50}\ } = \sqrt{\ds{960\over n}\ }$ とすると
$\ds{640\over50} =\ds{960\over n}$
$n = \ds{960\over640}\times50 = \ds{150\over2} = 75$.
なので $\ds{75\over50} =\ds{15\over10}=1.5$ 倍。
面倒なだけで難しくはないと思う。
いつもそうだが統計は問題文を読むのが大変。