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(1) |→OA|2=√1+4 2=5.
→OD=910→OA
→CD=→OD−→OC
=910→OA−12(→OA+→OB)
=410→OA−12→OB
=25→OA−12→OB.
→OA⊥→CD
⇔
0=→OA⋅→CD
=→OA⋅(25→OA−12→OB)
=25|→OA|2−12→OA⋅→OB
=25×5−12→OA⋅→OB
=2−12→OA⋅→OB.
従って →OA⋅→OB=4.
→OE=35→OB.
→CE=→OE−→OC
=35→OB−12(→OA+→OB)
=−12→OA+110→OB.
→OB⊥→CE
⇔
0=→OB⋅→CE
=−12→OA⋅→OB+110|→OB|2
=−2+110|→OB|2.
より |→OB|2=20.
これを用いて
20=110|→OB|2=4+p2+q2 より p2+q2=16.
4=→OA⋅→OB=−2+2p より p=3.
9+q2=16 で q>0 より q=√7 .
(2) さて
→OH=s→OA+t→OB
→OG+→GH=s→OA+t→OB
→GH=−→OG+s→OA+t→OB
→GH⊥→OA
⇔
0=−→OG⋅→OA+s|→OA|2+t→OA⋅→OB
=−(4,4,−√7 )⋅(−1,2,0)+5s+4t
=−(−4+8)+5s+4t
よって
5s+4t=4 ⋯①.
同様に
→GH⊥→OB
⇔
0=−→OG⋅→OB+s→OA⋅→OB+t|→OB|2
=−(4,4,−√7 )⋅(2,3,√7 )+4s+20t
=−(8+12−7)+4s+20t
=−13+4s++20t.
よって
4s+20t=13 ⋯②
①×5−②: 21s=7
故に s=13
これを ① に代入して t=712
以上より
→OH=13→OA+712→OB
=112(4→OA+7→OB)=1112(411→OA+711→OB).
これに基づいて図を描くと下図を得る。
従って H は △OBC の内部の点である。
最後の問題は図を描いた方が間違いが少ないとは思うが, 図を描く時に間違えないように気を付けないといけない。
それ以外は計算が大変なだけで難しくはないだろう。