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2021 大学入学共通テスト (第二日程) 数学 II・B 第五問

(1) |OA|2=1+4 2=5.

OD=910OA

CD=ODOC
=910OA12(OA+OB)
=410OA12OB
=25OA12OB.

OACD

0=OACD
=OA(25OA12OB)
=25|OA|212OAOB
=25×512OAOB
=212OAOB.
従って OAOB=4.

OE=35OB.
CE=OEOC
=35OB12(OA+OB)
=12OA+110OB.
OBCE

0=OBCE
=12OAOB+110|OB|2
=2+110|OB|2.
より |OB|2=20.

これを用いて
20=110|OB|2=4+p2+q2 より p2+q2=16.

4=OAOB=2+2p より p=3.
9+q2=16q>0 より q=7 .

(2) さて
OH=sOA+tOB
OG+GH=sOA+tOB
GH=OG+sOA+tOB

GHOA

0=OGOA+s|OA|2+tOAOB
=(4,4,7 )(1,2,0)+5s+4t
=(4+8)+5s+4t
よって
5s+4t=4 .

同様に
GHOB

0=OGOB+sOAOB+t|OB|2
=(4,4,7 )(2,3,7 )+4s+20t
=(8+127)+4s+20t
=13+4s++20t.
よって
4s+20t=13 

×5: 21s=7
故に s=13

これを ① に代入して t=712

以上より
OH=13OA+712OB
=112(4OA+7OB)=1112(411OA+711OB).
これに基づいて図を描くと下図を得る。

従って HOBC の内部の点である。


最後の問題は図を描いた方が間違いが少ないとは思うが, 図を描く時に間違えないように気を付けないといけない。
それ以外は計算が大変なだけで難しくはないだろう。