(1) 正弦定理より $2R = \ds{8\over\ \sin\angle APB\ }$.
$\sin \angle APB$ が最大値 1 を採るときは $\angle APB=90^\circ$.
Thales の定理よりこの時
$AB$ が直径になるので $R = \ds{\ 8\ \over2} = 4$.
(2) 共有点を持つのは $h \leqq 4$.
(i) シ は直角三角形つまり ①.
(ii) $\angle AP_3B = \angle AP_2B$.
$(0 \lt)\ \sin\angle < \angle AP_1B$.
よって $\ds{AB\over\ \sin\angle AP_3B} > \ds{AB\over\ \sin\angle AP_1B}$.
故 $R_1 < R_2$.
より タ は ③.
(3) $\sin\ds{\ \angle APB\ \over2} =\ds{1\over\ \sqrt{5\ }\ }$, $\cos\ds{\
\angle APB\ \over2} =\ds{2\over\ \sqrt{5\ }\ }$.
(二倍角の公式から)
$\sin\angle APB = 2\cdot\sin\ds{\ \angle APB\ \over2}\cdot\cos\ds{\ \angle APB\
\over2}$
$=2\cdot\ds{1\over\ \sqrt{5\ }\ }\cdot\ds{2\over\ \sqrt{5\ }\ } =\ds{4\over\
5\ }$.
よって $R = \ds{8\over\ 2\sin\angle APB\ } = \ds{8\over\ 2\times\ds{4\over\ 5\ }\ } = 5$.
基本的で,難しくない。
(3) の $\sin\angle APB$ は (その方が楽なので) 数学 II の知識を使って二倍角の公式を用いてしまったが, 純粋に数学 I だけでやるならば $\triangle APB$ に第二余弦定理を用いて先ず $\cos\angle APB$ を出し, その値を用いて $\sin\angle APB$ を出せば良いだろう。 出題者の意図としてはそうやって出させるのだろうと思われる。