(1) $a\geqq b\geqq c\geqq d\geqq 0$ なので, とりあえず, 0 を含めないで順に調べていく。
$a=b=c=d=1$ の時は $左辺 = 4$ である。
$a=b=c=2$, $d=1$ の時, $左辺 = 13$,
$a=3$, $b=c=d=1$ の時は $左辺 = 12$,
$a=3$, $b=2$, $c=d=1$ の時は $左辺 = 15$,
の様にして $a=3$, $b = 2$, $c=1$, $d=0$ で $左辺 = 14$ だけが $a^2+b^2+c^2+d^2 = 14$ になる。
次に $a=b=3$, $c=d=2$ の時 $左辺 = 9 + 9 +4 +4=26$.
$a=b=c=3$, $d=1$ の時は $左辺 = 9 + 9 +9 +1=28$.
$a=4$, $b=c=d=2$ の時も $左辺 = 16 + 4 +4 +4=28$.
$a=5$, $b=c=d=1$ の時も $左辺 = 25 + 1 +1 +1=28$.
で結局この三通り。
(2) $a^2-1=(a-1)(a+1)=2n(2n+2)=4n(n+1)$ より $h=8$.
(3) $a$ が奇数であるとすると $a^2\equiv1\pmod8$ だから
$a^2 + b^2 +c^2 + d^2\equiv0\pmod8$ とするとすべてが偶数でないとおかしい。
(4) $m=224 = 8\times28$ なので
$a$, $b$, $c$, $d$ はすべて偶数。
ということなので, $a = 2a'$ &c と置くと,
$4a'^2 + 4b'^2 +4c'^2 + 4d'^2=224$.
$a'^2 + b'^2 +c'^2 + d'^2=56 =8\times7$.
従って更に $a'=2a''$ &c と置くと,
$a''^2 + b''^2 +c''^2 + d''^2=14$.
なので (1) から $a''=3$, $b''=2$, $c''=1$, $d''=0$ だけが解。
元に戻すと
$a=12$, $b=8$, $c=4$, $d=0$ の唯一通り。
(5) $896 = 7\times8\times2^4$ で $28 = 4\times7$ なので,
$896 =(28\times2)\times2^4 =(28\times2)\times4^2 =28\times4^2\times2$.
ここで (4) の議論を使うと
$m= 28,\ 112,\ 448$ の三つが三通りあることが分かる。
従って最大のものは
$m=448$.
この問題は良く考えられている。
特に (5) が難しい。