(1) $\sin\ds{\ \pi\ \over3}= \ds{\ \sqrt3\ \over2}$,
$\cos\ds{\ \pi\ \over3} =\ds{1\over\ 2\ }$ なので
$y=2\ds{\left(\sin\theta\cos\ds{\ \pi\ \over3} + \cos\theta\sin\ds{\ \pi\
\over3}\right)}$
$=2\sin\ds{\left(\theta + \ds{\ \pi\ \over3}\right)}$.
$0 \leqq \theta \leqq\ds{\ \pi\ \over2}$ なので $\ds{\ \pi\ \over3}\leqq\theta+\ds{\ \pi\ \over3}\leqq\ds{\ \pi\ \over2}+\ds{\ \pi\ \over3}$.
よって $y$ は $\theta+\ds{\ \pi\ \over3} = \ds{\ \pi\ \over2}$ 即ち $\theta = \ds{\ \pi\ \over2} - \ds{\ \pi\ \over3} = \ds{\ \pi\ \over6}$ で最大値 $2$ をとる。
(2) (i) $p=0$ ならば $y=\sin\theta$ $\ds{\left(0\leqq\theta\leqq \ds{\ \pi\
\over2}\right)}$
なので
$y$ は
$\theta = \ds{\ \pi\ \over2}$ で最大値 $1$.
(ii) $p > 0$ とすると
$y = \ds{\sqrt{1+p^2\ }}\cos\ds{\left(\theta-\alpha\right)}$
ここで
$\sin\alpha = \ds{1\over\ \sqrt{1+p^2\ }\ }$ 且つ
$\cos\alpha = \ds{p\over\ \sqrt{1+p^2\ }\ }$ $\ds{\left(但し 0 < \alpha < \ds{\
\pi\ \over2}\right)}$
$0 \leqq \theta \leqq\ds{\ \pi\ \over2}$ なので
$-\alpha\leqq\theta-\alpha\leqq\ds{\ \pi\ \over2} - \alpha$.
だから $y$ は $\theta-\alpha = 0$ 即ち $\theta = \alpha$ の時, 最大値 $\ds{\sqrt{1+p^2\ }\ }$ をとる。
(iii) $p < 0$ の時は $q = -p$ として
$y = \sin\theta+p\cos\theta$
$= \sin\theta-q\cos\theta$
$= \ds{\sqrt{1+q^2\ }}\sin\ds{\left(\theta-\alpha\right)}$.
ここで
$\sin\alpha = \ds{q\over\ \sqrt{1+p^2\ }\ } = -\ds{p\over\ \sqrt{1+p^2\
}\ }$ 且つ
$\cos\alpha = \ds{1\over\ \sqrt{1+p^2\ }\ }$ $\ds{\left(但し 0 < \alpha < \ds{\
\pi\ \over2}\right)}$.
$-\alpha\leqq\theta-\alpha\leqq\ds{\ \pi\ \over2} - \alpha$ なので, 最大値は $\theta-\alpha = \ds{\ \pi\ \over2} - \alpha$ つまり $\theta = \ds{\ \pi\ \over2} - \alpha$ の時に現れて $1$ になる。
(2) (ii) でどうして $\cos$ に変形するのだろう。 教科書には $\sin$ しか出ていないから嫌がらせなのだろうか。 それとも (iii) の時には $\cos$ の方がいいのかな。 そうは思えないんだけど。