2021 大学入学共通テスト (第一日程) 数学 II・B 第一問 [2]

(1) $f(0) =1$, $g(0) = 0$.

$f(x) \geqq\ds{\sqrt{2^x\cdot2^{-x}\ }} = 1$.
等号成立条件は
$2^x = 2^{-x}$ 即ち $2^{2x} =1$ つまり $2x =0$ より $x=0$..
だから $f(x)$ は $x=0$ で最小値 $1$.

$g(x) = \ds{\ 2^x - 2^{-x}\ \over2} = -2$ と置く。
$2^x - 2^{-x} = -4$.
$\ds{\left(2^x\right)^2} - 1 = -4\cdot2^x$.
$\ds{\left(2^x\right)^2} + 4\cdot2^x - 1 = 0$.
二次方程式の解の公式から $2^x = -2 \pm \ds{\sqrt{4 + 1\ }} = -2 \pm \sqrt{5\ }$.
$2^x > 0$ なので $2^x = \sqrt{5\ } -2$.
故に $x=\log_2\ds{\left(\ds{\sqrt{5\ }}-2 \right)}$.

(2) $f(-x)= f(x)$ (viz. 偶関数),
$g(-x) = -g(x)$ (viz. 奇関数).

$f(x)^2 - g(x)^2 = \ds{2^{2x} + 2 + 2^{-2x} - \ds{\left(2^{2x} - 2 - 2^{-2x}\right)}\over4} = 1$.

$g(2x) = \ds{\ 2^{2x} - 2^{-2x}\ \over2}$.
一方
$f(x)g(x) = \ds{\ 2^x + 2^{-x}\ \over2}\cdot\ds{\ 2^x - 2^{-x}\ \over2} = \ds{\ 2^{2x} - 2^{-2x}\ \over4}$.
だから $g(2x) = 2f(x)g(x)$.

(3) $f(\alpha)g(\beta) = \ds{\ 2^\alpha + 2^{-\alpha}\ \over2}\cdot\ds{\ 2^\beta - 2^{-\beta}\ \over2} = \ds{2^{\alpha+\beta} - 2^{-\alpha-\beta} + 2^{-\alpha+\beta} - 2^{\alpha-\beta}\over 4}$
$= \ds{1\over\ 2\ }\ds{\left(g(\alpha+\beta) + g(-\alpha + \beta)\right)}$.

同様に $g(\alpha)f(\beta) = \ds{1\over\ 2\ }\ds{\left(g(\alpha+\beta) + g(\alpha - \beta)\right)}= \ds{1\over\ 2\ }\ds{\left(g(\alpha+\beta) - g(-\alpha + \beta)\right)}$.

従って　$f(\alpha)g(\beta) + g(\alpha)f(\beta) = g(\alpha+\beta)$.

更に $f(\alpha)f(\beta) = \ds{\ 2^\alpha + 2^{-\alpha}\ \over2}\cdot\ds{\ 2^\beta + 2^{-\beta}\ \over2} = \ds{2^{\alpha+\beta} + 2^{-\alpha-\beta} + 2^{-\alpha+\beta} + 2^{\alpha-\beta}\over 4}= \ds{1\over\ 2\ }\ds{\left(f(\alpha+\beta) + f(\alpha - \beta)\right)}$,
$g(\alpha)g(\beta) = \ds{\ 2^\alpha - 2^{-\alpha}\ \over2}\cdot\ds{\ 2^\beta - 2^{-\beta}\ \over2} = \ds{2^{\alpha+\beta} + 2^{-\alpha-\beta} - 2^{-\alpha+\beta} - 2^{\alpha-\beta}\over 4}= \ds{1\over\ 2\ }\ds{\left(f(\alpha+\beta) - f(\alpha - \beta)\right)}$.

従って $f(\alpha)f(\beta) + g(\alpha)g(\beta) = f(\alpha+\beta)$,
$f(\alpha)f(\beta) - g(\alpha)g(\beta) = f(\alpha-\beta)$

以上より B(1) だけが成立して, 他は不成立。

計算が大変なだけ。

受験生諸君は知らないだろうが, この $f(x)$, $g(x)$ というのは双曲線関数というものと関係があり, 双曲線関数というのは $\sin$, $\cos$ と関係があるのである。

ここに書かれた性質は双曲線関数の加法定理に相当するものなので, 専門家は良く知っているのである。