(1) $f(0) =1$, $g(0) = 0$.
$f(x) \geqq\ds{\sqrt{2^x\cdot2^{-x}\ }} = 1$.
等号成立条件は
$2^x = 2^{-x}$ 即ち $2^{2x} =1$ つまり $2x =0$ より $x=0$..
だから $f(x)$ は $x=0$ で最小値 $1$.
$g(x) = \ds{\ 2^x - 2^{-x}\ \over2} = -2$ と置く。
$2^x - 2^{-x} = -4$.
$\ds{\left(2^x\right)^2} - 1 = -4\cdot2^x$.
$\ds{\left(2^x\right)^2} + 4\cdot2^x - 1 = 0$.
二次方程式の解の公式から $2^x = -2 \pm \ds{\sqrt{4 + 1\ }} = -2 \pm \sqrt{5\ }$.
$2^x > 0$ なので $2^x = \sqrt{5\ } -2$.
故に $x=\log_2\ds{\left(\ds{\sqrt{5\ }}-2 \right)}$.
(2) $f(-x)= f(x)$ (viz. 偶関数),
$g(-x) = -g(x)$ (viz. 奇関数).
$f(x)^2 - g(x)^2 = \ds{2^{2x} + 2 + 2^{-2x} - \ds{\left(2^{2x} - 2 - 2^{-2x}\right)}\over4} = 1$.
$g(2x) = \ds{\ 2^{2x} - 2^{-2x}\ \over2}$.
一方
$f(x)g(x) = \ds{\ 2^x + 2^{-x}\ \over2}\cdot\ds{\ 2^x - 2^{-x}\ \over2} = \ds{\
2^{2x} - 2^{-2x}\ \over4}$.
だから $g(2x) = 2f(x)g(x)$.
(3) $f(\alpha)g(\beta) = \ds{\ 2^\alpha + 2^{-\alpha}\ \over2}\cdot\ds{\
2^\beta - 2^{-\beta}\ \over2} = \ds{2^{\alpha+\beta} - 2^{-\alpha-\beta} +
2^{-\alpha+\beta} - 2^{\alpha-\beta}\over 4}$
$= \ds{1\over\ 2\ }\ds{\left(g(\alpha+\beta) + g(-\alpha + \beta)\right)}$.
同様に $g(\alpha)f(\beta) = \ds{1\over\ 2\ }\ds{\left(g(\alpha+\beta) + g(\alpha - \beta)\right)}= \ds{1\over\ 2\ }\ds{\left(g(\alpha+\beta) - g(-\alpha + \beta)\right)}$.
従って $f(\alpha)g(\beta) + g(\alpha)f(\beta) = g(\alpha+\beta)$.
更に $f(\alpha)f(\beta) = \ds{\ 2^\alpha + 2^{-\alpha}\ \over2}\cdot\ds{\
2^\beta + 2^{-\beta}\ \over2} = \ds{2^{\alpha+\beta} + 2^{-\alpha-\beta} +
2^{-\alpha+\beta} + 2^{\alpha-\beta}\over 4}= \ds{1\over\ 2\
}\ds{\left(f(\alpha+\beta) + f(\alpha - \beta)\right)}$,
$g(\alpha)g(\beta) = \ds{\ 2^\alpha - 2^{-\alpha}\ \over2}\cdot\ds{\ 2^\beta -
2^{-\beta}\ \over2} = \ds{2^{\alpha+\beta} + 2^{-\alpha-\beta} -
2^{-\alpha+\beta} - 2^{\alpha-\beta}\over 4}= \ds{1\over\ 2\
}\ds{\left(f(\alpha+\beta) - f(\alpha - \beta)\right)}$.
従って $f(\alpha)f(\beta) + g(\alpha)g(\beta) = f(\alpha+\beta)$,
$f(\alpha)f(\beta) - g(\alpha)g(\beta) = f(\alpha-\beta)$
以上より B(1) だけが成立して, 他は不成立。
計算が大変なだけ。
受験生諸君は知らないだろうが, この $f(x)$, $g(x)$ というのは双曲線関数というものと関係があり, 双曲線関数というのは $\sin$, $\cos$ と関係があるのである。
ここに書かれた性質は双曲線関数の加法定理に相当するものなので, 専門家は良く知っているのである。