(1) $y$ 切片は $3$.
① で $y' = 6x + 2$ なので, $y'_{x=0}= 2$.
従って接線は
$y = 2(x-0)+3 = 2x + 3$.
そこで $y'_{x=0}= 2$ で $y$ 切片が $3$ となる為には $y$ の $x$ の一次の係数が $2$ で定数項が
$3$ であることが必要十分なので ④ の $y = -x^2 + 2x + 3$.
さて次に,
$y = ax^2 + bx + c$ 上の点 $(0,\ c)$ で接線を引くと
$y' = 2ax + b$ で $y'_{x=0}=b$ であるから
$l$:
$y = b(x - 0) + c = bx + c$.
$b\neq0$ なので $l$ と $x$ 軸との交点の $x$ 座標は $\ds{\ -c\ \over b}$.
$a > 0$ なので放物線は下に凸。 $b >0$, $c > 0$ だから,
$S = \ds{\int_{-\ {c\over b}}^0 \left(ax^2 + bx + c -(bx + c)\right)dx}$
$= \ds{\int_{-\ {c\over b}}^0 ax^2\,dx}$.
$= \ds{{1\over\ 3\ }\left[ax^3\right]_{-\ {c\over b}}^0}$
$= \ds{\ ac^3\over3b^3}$.
さて$a = 1$, $S$ を定数とすると
$S = \ds{\ c^3\over3b^3}$
即ち
$c^3 = 3Sb^3$.
$a$, $b$ は共に実数なので
$c = \sqrt[3]{3S\ }b$ (つまりグラフは 0).
(2) $y$ 切片は $5$.
$y'_{x=0} = 3$ なので接線は $y = 3x + 5$.
$y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ の $y$ 切片は $(0,\ d)$ で, そこでの接線は $y = cx + d$ である。
$a > 0$, $b >0$, $c > 0$, $d > 0$ だから
$h(x) = f(x) - g(x) = ax^3 + bx^2 = x^2\ds{\left(ax + b\right)}$.
これの graph は原点で $x$ 軸と接していて, 原点以外の $x$ 軸との交点が $\ds{\left(0,\ -\ds{b\over
a}\right)}$ で $-\ds{b\over a} < 0$ なので ② である。
$h'(x) = 3ax^2 + 2bx = x(3ax + 2b) = 0$ と置く。
$0 < x < -\ds{b\over a}$ とすると $x =-\ds{2b\over3a}$ である。
$h(x)$ の形状からこの時 $|h(x)| = h(x)$ が最大になる。
教科書の演習問題程度。 難しくない。