2021 大学入学共通テスト (第一日程) 数学 II・B 第三問

(1) 母数が 100 で母比率 0.5 なので $B(100,\ 0.5)$ つまり ③.

平均は $E(X) = 100\times0.5 = 50$.
標準偏差は $\sigma = \ds{\sqrt{100\times0.5\times0.5\ }} = 5$.

(2) 正規化すると $\ds{\ 36-50\ \over5} = -2.8$.
表から $Z_0 = 0.4974$ で $0.5- 0.4974 = 0.0026$ なので約 0.003 つまり ①.

母比率 0.4 の時 $E(X) = 100\times0.4 = 4.0$.
$\sigma = \ds{\sqrt{100\times0.4\times0.6\ }} = \sqrt{24\ } = 2\sqrt{6\ }$.
正規化すると $\ds{\ 36-40\ \over2\sqrt{6\ }} = \ds{-4\over\ 2\sqrt{6\ }\ } = -\ds{\ 2\sqrt{6\ }\ \over\ 6}
= -\ds{\ \sqrt{6\ }\ \over3}\fallingdotseq\ds{\ -2.449\ \over3} \fallingdotseq-0.483$.
よって $Z_0 \fallingdotseq 0.1844$.
$0.5 - 0.1844 = 0.3156$ となる。

従って $p_4 > p_5$. つまり ②.

(3) 95 % 信頼区間は
$204 -1.96\times\ds{\ 150\ \over10} \leqq m \leqq 204 + 1.96\times\ds{\ 150\ \over10}$

従って $C_1 + C_2 = 408$.
$C_1 - C_2 = 2\times1.96\times15 = 1.96\times30 = 58.8$.

信頼区間に入るとは限らないので ス は ③.

(4) 同じ理由から ③.

(5) ⓪ 標本平均が一致するとは限らない。
① は言えない。
② は正しい。
③ は言えない。
④ は母標準偏差が等しい限り成立する。
⑤ は言えない。

というわけで ②, ④.


面倒なだけで難しくはないと思う。

いつもそうだが統計は問題文を読むのが大変。