(1) $a_n = a_1 + (n-1)p = 3 + (n -1)p$.
$a_{n+1} =3 + np$.
$b_n = b_1r^{n-1} = 3r^{n-1}$.
① より $ra_n-2a_{n+1} + 3r = 0$.
$2a_{n+1}= r\ds{\left(a_n+3\right)}$.
$2(3 + np) = r\ds{\left(3 + (n - 1)p + 3\right)}$.
$6 + 2np = 6r + (n - 1)rp$.
$nrp - 2np = rp - 6r + 6$.
$(r - 2)pn = r(p - 6) + 6$.
これは $n$ の恒等式だから $r = 2$.
従って $2(p - 6) + 6 = 0$
$2p - 6 = 0$
即ち $p=3$.
(2) よって $a_n = 3 + 3(n -1) = 3n$.
$b_n = 3\times2^{n-1}$.
$\ds{\sum_{k=1}^n a_k} = \ds{\ 3\ \over2}n(n+1)$.
$\ds{\sum_{k=1}^n b_k} = \ds{\ 3\ds{\left(2^n -1\right)}\over2-1}=
3\ds{\left(2^n - 1\right)}$
(3)
$\ds{\left(a_n + 3\right)}c_{n+1} = 4a_{n + 1}c_n$.
$c_{n+1} = \ds{4a_{n+1}\over\ a_n + 3\ }c_n = \ds{\ 4\times3(n+1)\ \over3n+
3}c_n= 4c_n$.
なので ②.
(4) $d_n\times3\times2^n - qd_{n+1}\times3\times2^{n-1} + u\times3\times2^n = 0$.
両辺を $3\times2^{n-1}$ で割って
$2d_n - qd_{n+1} + 2u = 0$.
故に
$d_{n+1} = \ds{2\over\ q\ }\ds{\left(d_n + u\right)}$.
従って $q > 2$ 且つ $u = 0$.
難しくない上に大して面白くない問題。