(1) $\angle A_1C_1B_1 = \ds{\ 360^\circ\ \over10} = 36^\circ$.
$\vector{A_1A_2}= a\vector{B_1C_1}$
$\vector{B_1C_1}$
$= -a\vector{OA_1} - \vector{OA_2} + \vector{OA_1} + a\vector{OA_2}$
$= (1- a)\vector{OA_1} - (1 - a)\vector{OA_2}$
$= (a -1)\ds{\left(\vector{OA_2} - \vector{OA_1}\right)}$.
故に $\ds{1\over\ a\ } = a-1$.
$a > 0$ より $a = \ds{\ 1 + \sqrt{5\ }\ \over2}$.
(2) $\abs{\vector{A_1A_2}}^2 = a^2 = \ds{\left(\ds{\ 1 + \sqrt{5\ }\
\over2}\right)^2}
= \ds{\ 6+2\sqrt{5\ }\ \over4}=\ds{\ 3 + \sqrt{5\ }\ \over2}$.
従って
$\ds{\ 3 + \sqrt{5\ }\ \over2}$
$= \abs{\vector{OA_2} - \vector{OA_1}}^2$
$=\abs{\vector{OA_2}}^2 + \abs{\vector{OA_1}}^2 -
2\vector{OA_1}\cdot\vector{OA_2}$
$= 1 + 1 - 2\vector{OA_1}\cdot\vector{OA_2}$
$2\vector{OA_1}\cdot\vector{OA_2} =2-\ds{\ 3 + \sqrt{5\ }\ \over2} = \ds{\
4-3 - \sqrt{5\ }\ \over2} = \ds{\ 1- \sqrt{5\ }\ \over2}$.
即ち $\vector{OA_1}\cdot\vector{OA_2} = \ds{\ 1- \sqrt{5\ }\ \over4}$.
$\vector{OA_1}\cdot\vector{OB_2}$
$= \vector{OA_1}\cdot\ds{\left(\vector{OA_3}+ a\vector{OA_2}\right)}$
$= \vector{OA_1}\cdot\vector{OA_3} + a\vector{OA_1}\cdot\vector{OA_2}$
$=\ds{\ 1- \sqrt{5\ }\ \over4} + \ds{\ 1 + \sqrt{5\ }\ \over2}\cdot\ds{\ 1 -
\sqrt{5\ }\ \over4}$
$=\ds{\ 1- \sqrt{5\ }\ \over4} + \ds{\ 1 - 5\ \over8}$
$=\ds{\ 1- \sqrt{5\ }\ \over4} - \ds{\ 1\ \over2} = \ds{\ 1- \sqrt{5\ }-2\
\over4}$
$=\ds{\ -1- \sqrt{5\ }\ \over4}$.
$\vector{OB_1}\cdot\vector{OB_2}$
$= \ds{\left(\vector{OA_2}+ a\vector{OA_1}\right)}\cdot\ds{\left(\vector{OA_3}+
a\vector{OA_2}\right)}$
$= \vector{OA_2}\cdot\vector{OA_3} + a\vector{OA_1}\cdot\vector{OA_3} +
a\abs{\vector{OA_2}}^2 + a^2\vector{OA_1}\cdot\vector{OA_2}$
$= \ds{\ 1- \sqrt{5\ }\ \over4} + \ds{\ 1 + \sqrt{5\ }\ \over2}\cdot\ds{\ 1 -
\sqrt{5\ }\ \over4}
+\ds{\ 1+ \sqrt{5\ }\ \over2} + \ds{\ 3 + \sqrt{5\ }\ \over2}\cdot\ds{\ 1 -
\sqrt{5\ }\ \over4}$
$= \ds{\ 1- \sqrt{5\ }\ \over4} + \ds{\ 1 - 5\ \over8} + \ds{\ 1 + \sqrt{5\ }\
\over2} + \ds{\ -2- 2\sqrt{5\ }\ \over8}$
$= \ds{\ 1- \sqrt{5\ }\ \over4} - \ds{\ 1\ \over2} + \ds{\ 1 + \sqrt{5\ }\
\over2} - \ds{\ 1+ \sqrt{5\ }\ \over4}$
$=\ds{\ 1- \sqrt{5\ } - 1- \sqrt{5\ }\ \over4} + \ds{\ -1 +1 + \sqrt{5\ }\
\over2}$
$=-\ds{\ \sqrt{5\ }\ \over2} + \ds{\ \sqrt{5\ }\ \over2} = 0$.
よって四角形 $OB_1DB_2$ は正方形 (⓪).
立体の問題で計算が大変だが, 最後の結果は Euclid の原論に正十二面体に内接する立方体として出てくるものである。