(1) $c = 1$ を代入して
$2x^2 + (4 - 3)x + 2 - 1 - 11$
$=2x^2 + x - 10$
$=(2x + 5)(x - 2)$. (
より $x = -\ds{\ 5\ \over2},\ 2$.
(2) $c = 2$ とすると
$2x^2 + (8- 3)x + 8 - 2 - 11$
$=2x^2 + 5x - 5 = 0$
解の公式から
$x = \ds{-5\pm\sqrt{25 + 40\ }\over4} = \ds{-5\pm\sqrt{65\ }\over4}$.
大きい方が $\alpha$ だから
$\alpha = \ds{-5+\sqrt{65\ }\over4}$.
従って
$\ds{\ 5\ \over\alpha} = \ds{5\times4\over-5+\sqrt{65\ }} =
\ds{5\times4\left(5+\sqrt{65\ }\right)\over65-25} =\ds{5\times4\left(5+\sqrt{65\
}\right)\over40}$
$=\ds{5+\sqrt{65\ }\over2}$
$64 < 65 < 81$ より $8 < \sqrt{65\ } < 9$.
$13 < 5 + \sqrt{65\ } < 14$
$\ds{\ 13\ \over2} = 6.5 < \ds{5+\sqrt{65\ }\over2} < 7$ なので $m=6$.
(3) 会話を hint にして
$D = (4c-3)^2 =4\times2\left(2c^2 - c - 11\right)$
$= 16c^2-24c+9$
$- 16c^2 + 8c + 88$
$= -16c + 97$.
先ず $D \geqq0$ でなければならないから
$-16c + 97\geqq0$
$16c \leqq97$
$c\leqq\ds{\ 7\ \over16} = 6 +\ds{1\over\ 16 }$
だから $c > 0$ の整数なので, $c = 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$ でなければならない。
順番に調べていくと
$c = 1$ の時
$D = 97 - 16 = 81 = 9^2$ は適。
$c = 2$ の時
$D = 97 - 32 = 65$ は不適。
$c = 3$ の時
$D = 97 - 48 = 49 = 7^2$ は適。
$c = 4$ の時
$D = 97 - 64 = 33$ は不適。
$c = 5$ の時
$D = 97 - 80 = 17$ は不適。
$c = 6$ の時
$D = 97 - 96 = 1 = 1^2$ は適。
というわけで $3$ 個。
この問題は基本的で大して難しくない。