(1) 順にやってみると $x = 2$, $y = 3$ となる。
(2) $x = 2\times8 + 3k$
$y = 3\times8 + 5k$.
$0 \leqq y < 5$ とするとつまり
$0 \leqq 24 + 5k < 5$であるから $-24 \leqq 5k < -19$
$-\ds{\ 24\ \over5} \leqq k < -\ds{\ 19\ \over5}$
$-4.8 \leqq k < -3.2$.
$k$ は整数なので, $k = -4$.
従って
$x = 16 - 12 = 4$,
$y = 24 - 20 = 4$.
だから 8 回。
(3) 偶数が出た場合 3 回出ると一周する。
奇数が出た場合は 5 回出ると一周するので,
$x = 4\equiv1\ (\mathrm{mod}\ 3)$
$y = 4\equiv4\ (\mathrm{mod}\ 5)$
というわけで偶数は 1 回, 奇数が 4 回の計 5 回で OK.
(4) (1), (2), (3) と hints から (以下, 簡単の為に$(x,\ y)$ と $\left((\mathrm{mod}\ 3),\
(\mathrm{mod}\ 5)\right)$ を省略する）
$P_1$ の時は $(2,\ 3)$ で 5 回。
$P_2$ の時は $(1,\ 1)$ で 2 回。
$P_3$ の時は $3(2,\ 3) = (6,\ 9)\equiv(0,\ 4)$ で 4 回。
$P_4$ の時は $2(1,\ 1) = (2,\ 2)$ で 4 回。
$P_5$ の時は $5(2,\ 3) = (10,\ 15)\equiv(1, 0)$ で 1 回。
$P_6$ の時は $2(0,\ 4) = (0,\ 8) \equiv(0,\ 3)$ で 3 回。
$P_7$ の時は $7(2,\ 3) = (14,\ 21)\equiv(2,\ 1)$ で 3 回。
$P_8$ の時は $(1,\ 4)$ で, 5 回。
$P_9$ の時は $3(0,\ 4) = (0,\ 12) \equiv(0,\ 2)$ で 2 回。
$P_{10}$ の時は $2(1,\ 0) = (2,\ 0)$ で 2 回。
$P_{11}$ の時は $11(2,\ 3) = (22,\ 33)\equiv(1,\ 3)$ で
4 回。
$P_{12}$ の時は $2(0,\
3) = (0,\ 6)\equiv(0,\ 1)$ で 1 回。
$P_{13}$ の時は $13(2,\ 3) = (26,\ 39)\equiv(2,\ 4)$ で 6 回。
$P_{14}$ の時は $2(2,\ 1) = (4,\ 2) \equiv(1,\ 2)$ で 3 回。
以上から $P_{13}$ の時に 6 回が最大。
筆者はこういう問題の時は時計の文字盤と同じで時計回りに 0, 1, 2, 3, $\ldots$ と並べるのが普通なので, それと逆回りだから少し戸惑った。 この問題の作者は回転と同じ向きに点を並べたものであると思う。
最後の (4) がえらく面倒だが, 本当は (数学 B の) vector の様に足し算も出来るので, もう少し楽な解答も可能なのだが, 通常の教科書では, 不定方程式の解法として加法的な解法は書いていないので, 試験場ではこうやるしかないのだろうなと思って, 上記の解答にしてある。
新奇な感じはするが, Euclid 互除法を用いていないということもあり, それ程難しくはない。