$(x-2)^2+(y-5)^2 -25 \leqq 0$.
(1) 中心 $(2,\ 5)$, 半径 $5$ の円の周および内部である。
(2) (i) $A(-8,\ 0)$ なので $A$ を通る $C$ の接線の内, $x$ 軸に平行なものがあり, それは $y=0$ である。
(ii) 接線となるときは重解を持つ時である。
(iii) $\tan\theta=\ds{5\over10}=\ds{1\over2}$.
接線の傾きは $\tan2\theta$ である。
二倍角の公式から
$k_0 =\tan2\theta =
\ds{2\tan\theta \over1-\tan^2\theta}= \ds{1 \over1-\ds{1\over4}} = \ds{\ 4\ \over3}$.
以上より, 直線 $l$ と領域 $D$ が共有点を持つような $k$ の範囲は $0\leqq k \leqq k_0$ となる。
因みにもし (2) (iii) で判別式をとったとすると (簡単の為に下付の $0$ を省略して書くと
$\ds{D\over4} =
\left(4k^2-5k-2\right)^2-\left(k^2+1\right)\left(64k^2-80k+4\right) = 0$.
これを Maxima 君に計算させると
$100k-75k^2=0$
$-25k(3k-4)=0$
となるが, とても手でやる気になれないと思う。
それから矢鱈無意味に太郎さんと花子さんの会話を挟んで問題文を間延びさせるのはどうかと思う。