(1) $\log_39 =\log_33^2=2$.
$セ = \left(\ds{1\over4}\right)^{-{3\over2}}= \left(2^{-2}\right)^{-{3\over2}}
=2^3=8$.
(2) $\log_ab = t$ であるので,
$a^t = b$ 即ち $a =b^{1\over t}$.
(3) $a > 1$ の時 $t=\log_ab > 0$ となるのは
$b > 1$ となる時で, この時
$\log_ab > 1$ 即ち $b > a \,(>1)$.
又 $t = \log_ab < 0$ となる時は
$b < 1$ となる時で, しかも
$-1 < \log_a b < 0$ 即ち
$\ds{1\over a} < b < 1$.
従って $\ds{1\over a} < b < 1$, $a < b$.
一方 $0 < a < 1$ の時は
$t=\log_ab > 0$ となるのは $b < 1$ の時で
この時 $\log_ab > 1$ 即ち $b < a \,(< 1)$.
つまり $0 < b < a$.
又 $t = \log_a b < 0$ となる時は
$b > 1$ となる時で, この時 $-1 <\log_ab < 0$.
よって $\ds{1\over a} > b > 1$.
(4)
$\log_pq = \log_{12\over13}\ds{12\over11}$.
と $\log_qp = \log_{12\over11}\ds{13\over12}$ については
上記で $a = p$ とすると
$a < 1$ の時だから
$0 < b < a$, $1 < b <\ds{1\over a}$ であるかを調べると
先ず $0 < \ds{12\over11} < \ds{12\over13}$ は偽。
又 $\ds{13\over12}-\ds{12\over11} = \ds{13\times11-12^2\over12\times11}=\ds{(12+1)(12-1)-
12^2\over12\times11} = -\ds{１\over12\times11}< 0$ なので $1 < \ds{12\over11} <
\ds{13\over12}$ も偽。
従って
$\log_pq < \log_qp$.
今度は $\log_pr$ と $\log_rp$ を調べる。
同様にして
$p < 1$.
$0 < \ds{14\over13} < \ds{12\over13}$ は偽。
$\ds{12\over12}-\ds{14\over13} = \ds{13^2 - 14\times12\over12\times13} =
\ds{13^2 - (13+1)(13-1)\over12\times13} >0$ だから $1 < \ds{14\over13} <
\ds{13\over12} $ は真。
以上より $\log_pr > \log_rp$ である。
計算が大変。