(1) $a=0$ の時 $f(x) = x^3 + 16$ なので 1.
$a < 0$ の時, $f'(x)= 3x^2 - 6a = 3x^2 + (-6a) \geqq -6a > 0$ なので 0.
(2) $f'(x)= 3x^2 - 6 = 3\left(x^2-2a\right) = 0$ とすると $a > 0$ なので $x= \pm\sqrt{2a\ }$.
$f(\pm\sqrt{2a\ }) =\pm2a\sqrt{2a\ }\mp6a\sqrt{2a\ }+16$
$+$ の方は $f(\sqrt{2a\ }) =2a\sqrt{2a\ }-6a\sqrt{2a\ }+16 = -4a\sqrt{2a\ } +16$.
$-$ の方は $f(-\sqrt{2a\ }) =-2a\sqrt{2a\ }+6a\sqrt{2a\ }+16 = 4a\sqrt{2a\ } +16$.
従って $-4a\sqrt{2a\ } +16 < p < 4a\sqrt{2a\ } +16$.
$-4\sqrt{2\ } a^{3\over2}+16< p < 4\sqrt{2\ } a^{3\over2}+16$
(3) (2) の $p=0$ の場合なので $a < 0$ の時は (1) の graph から $n=1$. (つまり 1)
$a > 0$ の時は $4a\sqrt{2a\ } +16 > 0$ は明らかなので
$4a\sqrt{2a\ } > 16$ の時を調べると
$\sqrt{2\ } a^{3\over2} > 4$
$a^{3\over2} > 2\sqrt{2\ } = 2^{3\over2}$
$a > 2$.
つまり
$a > 2$ の時は解が三つ,
$a=0$ の時は解が二つ,
$0 < a < 2$ の時は解が一つ。
従って
$n=3$ となる時は $a > 2 > 0$ なので答は 4.
(3) がいたずらに難しいと思うがどうか。