$g(x)=h(x)$ と置くと
$g(x)-h(x) = -3bx + 3b^2 + x^2 - b^2$
$=x^2-3bx+2b^2$
$= (x-b)(x-2b)$.
$x = b,\ 2b$.
$b > 0$ なので $b < 2b$.
よって $\alpha=b$, $\beta=2b$.
$S = \ds{\int_\alpha^\beta\left(h(x)-g(x)\right)\,dx}$
$T=\ds{\int_\beta^t\left(g(x)-h(x)\right)\,dx}$
$S-T =
\ds{\int_\alpha^\beta\left(h(x)-g(x)\right)\,dx}-\ds{\int_\beta^t\left(g(x)-h(x)\right)\,dx}$
$=\ds{\int_\alpha^\beta\left(h(x)-g(x)\right)\,dx}+\ds{\int_\beta^t\left(h(x)-g(x)\right)\,dx}$
$=
\ds{\int_\alpha^\beta\left(h(x)-g(x)\right)\,dx}-\ds{\int_\beta^t\left(g(x)-h(x)\right)\,dx}$
$=\ds{\int_\alpha^t\left(h(x)-g(x)\right)\,dx}$
$=\ds{\int_\alpha^t\left(-x^2+3bx-2b^2\right)\,dx}$
$=\left[-\ds{1\over3}x^3+\ds{3\over2}bx^2-2b^2x\right]_b^t$
$=-\ds{1\over3}t^3+\ds{3\over2}bt^2-2b^2t
-\left(-\ds{1\over3}b^3+\ds{3\over2}b^3-2b^3\right)$
$=-\ds{1\over3}t^3+\ds{3\over2}bt^2-2b^2t +\ds{2-9+12\over6}b^3$
$=-\ds{1\over3}t^3+\ds{3\over2}bt^2-2b^2t +\ds{5\over6}b^3$
$=-\ds{1\over6}\left(2t^3-9bt^2+12b^2t-5b^3\right)$.
$S-T=0$ とすると
$2t^3-9bt^2+12b^2t-5b^3=0$
($t=b$ を入れると作り方から明らかに等号が成立するので)
$(t-b)\left(2t^2-7bt+5b^2\right) = 0$
$(t-b)^2(2t-5b)=0$.
$t > 2b > b > 0$ より $t =\ds{5\over2}b$.
この問題はまあまあ普通な感じ。