2022 大学入学共通テスト 数学 II・B 第三問

(1) アイ は $0.25\% = 0.25$.

$E(Z) = 400\times\ds{1\over4} = 100$.

(2) $\sigma(R) = \ds{1\over400}\sigma(Z) =\ds{{1\over400}\sqrt{400\times\ds{1\over4}\times\ds{3\over4}\ }} = \ds{5\over400}\sqrt{3\ } = \ds{\sqrt{3\ }\over80}$.

$0.5-0.465=0.4535$ で $N(0,\ 1)$ だとこれは表から $Z_0 = 1.68$ で, つまり
$\ds{x-0.25\over\ds{\sqrt{3\ }\over80}} = 1.68$ とすると
$x=1.68\times\ds{\sqrt{3\ }\over80}+0.25\fallingdotseq1.68+\times\ds{1.73\over80}+0.25=0.28633$ なので

(3) $P(100\leqq X\leqq300)=1$ である。 (台形の面積から)
$\ds{(100a+b)+(300a+b)\over2}\times200 = 1$.
$(400a+2b)\times100 = 1$.
$4\times10^4a+2\times10^2b = 1$.

$\ds{13\over3}\times10^2\times\left(10^4a\right) + 2\times10^2\times\left(10^2b\right) = 90$. つまり
$13\times\left(10^4a\right) + 6\times\left(10^2b\right) = 270\times10^{-2} = 2.7$.
さっきの式から $2\times10^4a+10^2b = 0.5$.
$6$ 倍して $12\times10^4a+6\times10^2b = 3$
これらを辺々引くと $10^4a = -0.3 = -3\times10^{-1}$.
即ち $a = -3\times10^{-5}$.
従って $-0.6+10^2b =0.5$
従って $10^2b=1.1 = 11\times10^{-1}$.
つまり $b = 11\times10^{-3}$.

$100\ds{\int_{200}^{300}f(x)\,dx}$
$=100\ds{\int_{200}^{300}\left(-3\times10^{-5}x + 11\times10^{-3}\right)\,dx}$
$= 100\ds{\left[-\ds{3\over2}\times10^{-5}x^2 + 11\times10^{-3}x \right]_{200}^{300}}$
$= 100\ds{\left(-\ds{27\over2}\times10^{-5}\times10^4 + 33\times10^{-3}\times10^2 + \ds{12\over2}\times10^{-5}\times10^4 -22\times10^{-3}\times10^2 \right)}$
$=100\left(-\ds{27\over2}\times10^{-1} + 33\times10^{-1} + 6\times10^{-1} -22\times10^{-1} \right)$
$=10\times\left( -13.5 + 17 \right) = 35$.

確率・統計の問題というよりは指数計算の問題になっているのがよろしくない。

いつもそうだが統計は問題文を読むのが大変。