(1)
$\abs{\vector{OA}} = \abs{\vector{OB}}=1$ なので
$\cos\angle AOB = \vector{OA}\cdot\vector{OB} = -\ds{2\over3}$.
$\vector{OP}= (1-t)\vector{OA}+t\vector{OB}$
$\therefore\vector{OQ}=k\vector{OP} = (k-kt)\vector{OA}+kt\vector{OB}$
$\vector{CQ}= \vector{OQ} - \vector{OC}$
$= (k-kt)\vector{OA}+kt\vector{OB}+\vector{OA}$
$= (k-kt+1)\vector{OA}+kt\vector{OB}$.
故に
$\vector{OA}\cdot\vector{OP}$
$=(1-t)\abs{\vector{OA}}^2+t\vector{OA}\cdot\vector{OB}$
$=1-t-\ds{2\over3}t$
$=1-\ds{5\over3}t$.
$\vector{OA}\perp\vector{OP}$ ⇔ $\vector{OA}\cdot\vector{OP} = 0$ より $t = \ds{3\over5}$.
(2) $\angle OCQ = 90^\circ$ ⇔ $\vector{CO}\cdot\vector{CQ} = \vector{OA}\cdot\vector{CQ} = 0$
従って
$\vector{OA}\cdot\vector{CQ}$
$= (k-kt+1)\abs{\vector{OA}}^2+kt\vector{OA}\cdot\vector{OB}$
$=k-kt+1 - \ds{2\over3}kt$
$= k\left(1-t- \ds{2\over3}t\right) + 1$
$=\ds{k\over3}(3-3t-2t) +1$
$=\ds{k\over3}(3-5t) +1 = 0$.
$\therefore k=\ds{3\over5t-3}$.
図より
$0 < t < \ds{3\over5}$ ⇒ $Q\in D_1\cap E_1$,
$\ds{3\over5} < t < 1$ ⇒ $Q\in D_2\cap E_2$
(3) $t = \ds{1\over2}$
⇒ $k=\ds{3\over\ds{5\over2}-3} = \ds{6\over5-6} = -6$.
この時
$\vector{OQ}= (-6+6\times\ds{1\over2})\vector{OA}-6\times\ds{1\over2}\vector{OB}$
$=-3\vector{OA}-3\vector{OB}$
$=-3\left(\vector{OA}+\vector{OB}\right)$
$\therefore\abs{\vector{OQ}}^2 = 9\left(\abs{\vector{OA}}^2 + 2\vector{OA}\cdot\vector{OB}
+ \abs{\vector{OB}}^2\right)$
$=9\times\left(1-\ds{4\over3}+1\right)$
$9\times\ds{6-4\over3}=3\times2=6$.
$\vector{CR}=-\vector{CQ}$
$= -\left(k-kt+1\right)\vector{OA} -kt\vector{OB}$
$= -(-6+3+1)\vector{OA} + 3\vector{OB}$
$= 2\vector{OA} + 3\vector{OB}$.
従って
$2= k-kt+1$,
$3 = kt$
となれば良いので, 下の式を上の式に代入して
$2=k-3+1$ より
$k =4$.
これを下の方の式に代入すると $t=\ds{3\over4}$.
(2) の領域が一寸面倒だが, それ以外は大して難しくないと思う。