(1) $p=4$, $q=-4$ だから
$x^2 +4x-4=0$ $\ds{D\over4} = 4 + 4 = 8 > 0$ で (共役な) 無理数解が二個.
$x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2=0$ は $x=2$ だけなので, 結局 $n = 3$.
今度は $p=1$, $q=-2$ とすると会話中にあるように
$x^2 + x-2= (x+2)(x-1)=0$ で $x= -2,\ 1$.
$x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2=0$ は $x=1$ だけなので, 結局 $n = 2$.
(2) $p = -6$ とすると
$\alpha^2 - 6\alpha +q = 0$
$\alpha^2 +q\alpha-6=0$
となって, 辺々引くと
$(q+6)\alpha-6-q=0$
$(q+6)(\alpha-1)=0$
よって $q = -6$ 又は $\alpha = 1$.
$q=-6$ の時は解が三つにならないので, $\alpha=1$.
この時 $q=5$ で, 元の式に代入すると
$x^2 -6x+5 = (x-1)(x+5)=0$ で $x= 1,\ -5$ と
$x^2 + 5x -6 = (x-1(x+6)=0$ で $x= 1,\ -6$ なので適。
次に ① は重解を持ち得ないので, ② が重解を持つ場合を考える。
② が重解を持つとすれば, それは $x=3$ 以外あり得なくて $q=9$.
この時 ① を見ると $x^2 + 9x -6 = 0$ は $D > 0$ 且つ $x\neq3$ だから適。
つまり $q = 5,\ 9$.
(3) ③ で $y = (x-3)^2 + a-9$ となるので, $q$ が増加すると上向きに移動するから, 6.
(4)
$5 < q < 9$ である。
今までの考察から $A$ と $B$ は共通部分を持っていないので
$x\in A$ と $x\in B$ は必要でも十分でもない。
$x\in B$ ⇒ $x\in\bar A$ で逆は成り立たないので十分条件だが必要条件ではない。
(2) の graph の移動だが, 僕の感覚では元の graph が実線で, 移動した方が破線になって欲しいものだと思うが, 他の人はどうだろうか。