(1) $462 = 2\times3\times7\times11$
$110 = 2\times5\times11$.
従って双方を割り切る最大の素数は $11$.
462 と 110 の最小公倍数であるから
$2\times3\times5\times7\times11=210\times11=2310$.
$m$, $n$ を正の整数とすると, 赤い長方形を並べて作る長方形の横と縦の長さは各々 $462m$, $110n$ と表せる。
ここでその差を考えるとそれは $462m-110n = 22(21m-5n)$ となる。
$21$ と $5$ は互いに素なので, この $462m-110n = 22(21m-5n)$ は $22$ の倍数になる。
従って縦横の差の絶対値の最小値は $22$ であることが分かる。
さて, 縦の長さが横の長さよりも $22$ 長いということは
$110n-462m=22$
$110n = 462m+22$
$5n=21m+1$.
この式で (rhs =right hand side, 右辺)
$m=1$ → $rhs=22$
$m=2$ → $rhs=43$
$m=3$ → $rhs=64$
$m=4$ → $rhs=85$
となって $m=4$ の時 $n=17$ で実行出来る。 この時横は $462\times4=1848$.
(2)
$110 = 11\times2\times5$,
$154=11\times2\times7$
なので縦の長さはこれらの最小公倍数 $11\times2\times5\times7=77$ である。
$462=11\times3\times14$
$363=11\times3\times11$
となるので, これらの最大公約数は $11\times3=33$.
そして
$33=11\times3$
$770=11\times70$
なので $33$ と $770$ の最小公倍数は $11\times3\times70=2310$.
さて, 考えている正方形の一片の長さを考えると, それは整数 $p$, $q$, $r$ を用いて
$462p+363q = 2310r$ となるような, $p$, $q$, $r$ によって可能となる。
両辺は $33$ で割り切れるので
$14p+11q=70ｒ$
見つけ易い様に
$11q=70r-14p$
即ち $11q=14(5r-p)$ とすると
$r=3$,
$p = 4$,
$q=14$ で可能なことが分かるので, 結局一辺は
$2310\times3 = 6930$.
二種類の長方形のタイルを用いて正方形を作るという所が一寸新機軸な感じがする。
なかなか面白い問題ではあるが, 時間内に解くのはちょっとしんどいかもしれない。