Polya の方法

次の方法は Polya (1952) による方法である。

f(x) = e^x - x - 1

と置こう。 f'(x) = e^x - 1 なので, x > 0 ⇒ f'(x) > 0, x < 0 ⇒ f'(x) < 0 である。 そして, f(0) = 0 であるから, f(x) ≧ 0 で, 等号は x = 0 のみで成立。

さて, A_n = ((a₁ + a₂ + … + a_n)/n, G_n = ⁿ√(a₁a₂…a_n) と置く。 ここで

x = a_k/A_n - 1, k = 1, 2, ..., n

と置くと, f(x) ≧ 0 だから, e^x ≧ x + 1 で, 等号成立は x = 0 のみであるから (下記で exp x = e^x である, これは一般的な記号)

⇔ G_n/A_n ≦ 1 ⇔ G_n ≦ A_n.

で, 等号成立は a_k/A_n - 1 = 0 即ち, a₁ = a₂ = … = a_n.■

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