《review》
積の微分: (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).
さて商の微分 (f(x)/g(x))' を考えましょう。
前に言ったように f(x)/g(x) = f(x) × (1/g(x)) だから, (1/g(x))' を求めれば良いでしょう。 実は G(x) = 1/g(x) とすると, G(x)g(x) = 1. これらの両辺を微分すると
(G(x)g(x))' = (1)'.
左辺は積の微分, 右辺は定数の微分だから 0 になるので, 上記の公式から
G'(x)g(x) + G(x)g'(x) = 0.
G'(x) = -G(x)g'(x)/g(x) = -(1/g(x))g'(x)/g(x) = -g'(x)/g(x)2.
普通はどうやるかというと
これから更に一般に
(f(x)/g(x))' = (f(x)×(1/g(x))'
= f'(x)(1/g(x)) + f(x)(1/g(x))'
= f'(x)/g(x) + f(x)(-g'(x)/g(x)2)
= (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/g(x)2.
これが商の微分公式である。