奇函数と偶函数の定積分

ここでは ∫_-a^a f(x) dx というスタイルの定積分を考えてみたいと思う。

[定義]

函数 f(x) について f(-x) = -f(x) が成り立つものを奇函数 odd function,
f(-x) = f(x) が成り立つものを偶函数 even function という。

グラフを描くと, 奇函数は原点対称, 偶函数は y 軸対称になる。

何故こういう名前がついているかというと, f(x) = bxⁿ (b ≠ 0) という形をした函数に限っていえば, 指数 n が奇数のとき奇函数になり, 偶数のとき偶函数になるからである。 --- 単純でしょ ? 大体数学の命名法は単純なんです (笑)。

考えてみたいのは ∫_-a^a (bxⁿ) dx という形の定積分だが, n が奇数の場合と偶数の場合で別々に考えてみよう。

先ず n が奇数とすると, 整数 m を用いて n = 2m - 1 と書けるから, m が 0 でない場合

∫_-a^a (bxⁿ) dx = b∫_-a^a x^2m-1 dx = b[x^2m/(2m)]_-a^a = b(a^2m - (-a)^2m) = b(a^2m - a^2m) = 0.

次に n が偶数とすると, 整数 m を用いて n = 2m と書けるから,

∫_-a^a (bxⁿ) dx = b∫_-a^a x^2m dx = b[x^2m+1/(2m+1)]_-a^a = b(a^2m+1 - (-a)^2m+1)
= b(a^2m+1 + a^2m+1) = 2ba^2m+1.

一方, ∫₀^a (bxⁿ) dx = b∫₀^a x^2m dx = b[x^2m+1/(2m+1)]₀^a = ba^2m+1 だから

b∫_-a^a x^2m dx = 2∫₀^a (bxⁿ) dx.

このことは f(x) が奇函数と偶函数のところまで広げることができる。 正式には置換積分によって証明される。

[定理]
函数 f(x) が
奇函数ならば ∫_-a^a f(x) dx = 0,
偶函数ならば, ∫_-a^a f(x) dx = 2∫₀^a f(x) dx

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