積分で体積を求めるというと必ず出てくるのがこの回転体 a solid of revolution である。 というのは回転させるものがある程度いいかげんな函数でも, 回転軸に垂直な面で切ったときの断面は, 必ず円になり, 函数を y = f(x) とすると, 半径はその y (或いは f(x)) になるから簡単なのである。
即ち, 函数 y = f(x) ≧ 0 のグラフと x = a, x = b (a < b) と x 軸で囲まれる部分を x 軸を中心として回転させて出来る回転体の体積は, S(x) = πy2 だから
V = ∫ab S(x)dx = ∫ab πy2 dx =∫ab πf(x)2 dx = π∫ab f(x)2 dx.
例を三つばかりあげることにしよう。
[1] 球
先ず, 球の場合, 回転させるのは半円で良いことに注目しよう。 そこで円の方程式がどうなるかを調べるわけだが, 一番簡単な円で良いので, 中心が原点, 半径が r の円の方程式を調べる。
原点 O と, 円周上の一点 P(x, y) とを結ぶと OP = r であるが,
三平方の定理より,
r2 = OP2 = x2 + y2
となる。
x 軸を回転軸とすると, 必要なのは y2 だから, これを解いて y2 = r2 - x2.
上に述べた公式から, y 軸対称なことも用いて
V = ∫-rr πy2 dx = 2∫0r
π(r2 - x2) dx = 2π[r2x - x3/3]0r
= 2π(r3 - r3/3) = 2π×2r3/3 = 4πr3/3.
球の体積を求めるのは現代ではこのようにとても簡単だが, 紀元前に積分を用いないで求めるのは, とても大変だった。 どのようにしたかを知りたい人はここ。
[2] 放物線
簡単な問題にするために, y = x2 - 1 と x 軸で囲まれる部分を, x 軸に関して回転させた, 回転体の体積を求めてみよう。 (下図)
図から明らかなように求める体積は y 軸対称なことも用いて
V = ∫-11
πy2 dx = 2∫01
π(x2 - 1)2 dx = 2π∫01 (x4
- 2x2 + 1)2 dx
= 2π[x5/5 - 2x3/3 + x]01 = 2π(1/5
- 2/3 + 1) = 2π×(3 - 10 + 15)/5 = 16π/15.
[3] 回転放物面
先程の体積にはあんまり意味がなかったので, 今度は y 軸の方に回転させてみよう。 これにはちゃんと意味があって, このようにして出来る面を回転放物面というが, これがパラボラアンテナを作っている面である。 但しそんなに深くまでは使っていないが (笑)。
今度は回転させる場合の半径に当たるのが x になるから, 最初の方程式 y = x2 - 1 を x2 について解いて x2 = y + 1. 従って公式から (x と y の立場が入れ替わっていることに注意)
V = ∫-10 πx2 dy = π∫-10 (y + 1) dy = π[y2/2 + y]-10 = π(0 - (1/2 - 1)) = π/2.
あとで 「バウムクーヘン積分」 というのを教えてもらったので一応補遺に紹介しておく。
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