平方数の和

証明したいのは

数学的帰納法を用いると, 先ず n = 1 のときは

l.h.s. (left hand side 左辺) = 1.
r.h.s. (right hand side 右辺) = 1×2×3/6 = 1.

で成り立つ。 n のときの成立を仮定して, n + 1 のとき
1² + 2² + 3² + … + n² + (n + 1)² = (n + 1)((n + 1) + 1)(2(n + 1) + 1)/6
を証明すればよい。

l.h.s. = n(n + 1)(2n + 1)/6 + (n + 1)² …… 帰納法の仮定による
= (n + 1)(n(2n +1)/6 + (n + 1))
= (n + 1)(n(2n +1)/6 + 6(n + 1)/6)
= (n + 1)(2n² + n + 6n + 6)/6
= (n + 1)(2n² + 7n + 6)/6
= (n + 1)(n + 2)(2n + 3)/6
= (n + 1)((n + 1) + 1)(2n + 2 + 1)/6
= r.h.s.

で証明が終わるのであるが, そもそも数学的帰納法って何っていう人もいるだろうから, この公式の作り方を説明する。

先ず, 準備として

1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2.

これは簡単で

S = 1 + 2 + 3 + … + n
と
S = n + (n - 1) + (n - 2) + … + 1
とを下記のように縦に足していって

となるが, 最後の 2S の右辺にある (n + 1) の個数は, その上の 1, 2, 3, ... と一緒に数えていけば, 丁度 n 個あるので, これから

2S = n(n + 1).

あとは両辺を 2 で割ればいい。 --- 因みにこれはかの Carl Friedlich Gauß (ガウス, 1777/4/30 -- 1855/2/23) が小学生のときに考えた方法だという。

次に恒等式 k(k + 1)(k + 2) - (k -1)k(k + 1) = 3k² + 3k を考える --- これがみそである。 勿論この式は l.h.s. = k(k + 1)((k + 2) - (k - 1)) = k(k + 1)(k + 2 - k + 1) = k(k + 1)×3 = r.h.s. と証明される。

これに k = 1 から n のところまで順に代入して, 縦に足す。

左辺の方は上手く消しあって n(n + 1)(n + 2) だけが残る。

右辺は, 求めたい和を S と置くと
3(1² + 2² + 3² + … + n²) + 3(1 + 2 + 3 + … + n)
= 3S + 3n(n + 1)/2.

従って

3S + 3n(n + 1)/2 = n(n + 1)(n + 2)

3S = n(n + 1)(n + 2) - 3n(n + 1)/2
= n(n + 1)((n + 2) - 3/2)
= n(n + 1)(2(n + 2) - 3)/2 …… 通分した
= n(n + 1)(2n + 4 - 3)/2
= n(n + 1)(2n + 1)/2.

辺々を 3 で割ると, 求める結果が得られる。

尚, 同様にして k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - (k - 1)k(k +1)(k + 2) から
1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = (n(n + 1)/2)²
を, 更に k((k + 1)(k + 2)(k + 3)(k + 4) - (k - 1)k(k +1)(k + 2)(k + 3) から
1⁴ + 2⁴ + 3⁴ + … + n⁴ = n(n + 1)(2n + 1)(3n² + 3n - 1)/30
を得る。 --- これらは練習問題。

更に上級の練習問題: さて一般に 1^t + 2^t + 3^t + … + n^t (t は自然数) だったらどうなるでしょう ? --- これは難しい。 一応参考 page としてこことここをあげておく。