単純な定積分の例

[1] ∫₁^e dx/x = [log x]₁^e = log e - log 1 = 1 - 0 = 1.

[2] ∫₁² 3^xdx = ∫₁² e^{x log 3}dx = [3^x/log 3]₁² = (9 - 3)/log 3 = 6/log 3.

[3] ∫₀^π cos x dx = [sin x]₀^π = sin π - sin 0 = 0 - 0 = 0.
実はこの積分は y = cos x のグラフをみると, 0 ≦ x ≦ π/2 の部分と, π/2 ≦ x ≦ π の部分とで相殺しあって 0 になるということがすぐに分かる。

[4] ∫₀^π |cos x| dx = ∫₀^π/2 |cos x| dx + ∫_π/2^π |cos x| dx
= ∫₀^π/2 cos x dx - ∫_π/2^π cos x dx = [sin x]₀^π/2 - [sin x]_π/2^π
= sin π/2 - sin 0 - (sin π - sin π/2) = 1 - 0 - (0 - 1) = 2.
これも graph が分かれば, 与式 = 2∫₀^π/2 cos x dx となることが分かって, 簡単である。

[5] ∫₀^π/2 sin x dx = [-cos x]₀^π/2 = -cos π/2 + cos 0 = -0 + 1 = 1.

[6] ∫₀^π/2 sin² x dx (二倍角の公式 cos 2x = 1 - 2 sin²x より)
= (1/2)∫₀^π/2 (1 - cos 2x) dx = (1/2)[x - (1/2)sin 2x]₀^π/2
= (1/2) ((π/2 - 0) - (1/2)(sin π - sin 0)) = π/4.

[7] ∫₀^π/2 cos² x dx (二倍角の公式 cos 2x = 2 cos²x - 1 より)
= (1/2)∫₀^π/2 (1 + cos 2x) dx = (1/2)[x + (1/2)sin 2x]₀^π/2
= (1/2) ((π/2 - 0) + (1/2)(sin π - sin 0)) = π/4.
これも graph を描けば, [6] と値が一致するのは一目瞭然である。

[8]

[9]

[10]

以下の三つの例では m, n は自然数とする。(こちらを参照のこと)

[11] ∫₀^2π cos mx cos nx dx

1. m = n の時
   与式 = (1/2)∫₀^2π (1+ cos 2nx) dx = (1/2)[x + (1/(2n)) sin 2nx]₀^2π
   =(1/2)((2π - 0) + (1/(2n))(sin 4nπ - sin 0)) = π.
2. m ≠ n の時
   

[12] ∫₀^2π sin m x sin nx dx

これも [11] と同様に, m = n の時, π に等しく, それ以外の時は 0 に等しくなる。

[13] ∫₀^2π sin m x cos nx dx = 0. (途中経過省略)

上記の三つは Fourier 級数 (フーリエ級数) というものの基本になっている。

[14]
ここでは黙って半角の公式と, graph の対称性を用いている。

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