積分漸化式の証明

(1)

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(2)

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(3)

右辺の第三項を左辺に移項して

後は両辺を n で割ればよい。

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(4)

後は (3) と同様に, 右辺第三項を左辺に移項して, n で割ればよい。

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(5)

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(6)

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(7)

後は右辺第二項を左辺に, 左辺を右辺に各々移項して, n - 1 で割ればよい。

[別解] (3) に於いて n - 2 = -m 即ち n = -m + 2 と置いて, csc^mx = 1/sin^mx を用いても出る。 もともと, こういう風に考えて, 上記の証明を思いついたのだと思った。 --- 大分前の話なので, うろ覚えである。

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(8)

後は右辺第二項を左辺に, 左辺を右辺に各々移項して, n - 1 で割ればよい。

[別解] (4) に於いて n - 2 = -m 即ち n = -m + 2 と置いて, sec^mx = 1/cos^mx を用いても出る。 もともと, こういう風に考えて, 上記の証明を思いついたのだと思った。 --- 大分前の話なので, うろ覚えである。

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(9) 1. 先ず

t^p(at + b)^q = tp(at + b)(at + b)^q-1
= at^p+1(at + b)^q-1 + bt^p(at + b)^q-1

であるから, 積分して,

辺々 q 倍して, 移項すればよい。

2. u = at + b として同様の変形を行い, , p' = q, q' = p と置き直すと得られる。

これは大学に入ってから, 教科書に出ていたものであったと思う。

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(10) どれも同様なので 1 のみ示す。

故に (m + 1)I_m,n = sin^m+1x cos^n-1x + (n - 1)I_m+2,n-2.

一方,

故に I_m+2,n-2 = I_m,n-2 - I_m,n.

この式を先程の式に代入してみればよい。

これは大学に入ってから, 教科書に出ていたものであったと思う。

今考えると, 良くもまぁこんな証明を思いついたものだと思う (笑)。

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