x が値を増加させながら (数直線上左側から) a に近付く場合に f(x) の極限を考える場合がある。 この極限を
limx→a-0 f(x)
と書き, 左側極限 left side limit という。 つまり ∀ε > 0∃δ > 0( 0 > x - a > - δ ⇒ |f(x) - α| < ε) ということの略記である。 x → a - 0 とはつまり x = a - δ で δ → 0 となることを意味しているともいえる。 尚 x → 0 - 0 は x → -0 と略記する。 無限小を用いて a - 0 を代入するのだと思っても良い。 その意味で f(a - 0) = limx→a-0 f(x) と書くこともある。
同様に x が値を減少させながら (数直線上右側から) a に近付く場合には
limx→a+0 f(x)
と書き, 右側極限 right side limit という。 つまり ∀ε > 0∃δ > 0( 0 < x - a < δ ⇒ |f(x) - α| < ε) ということの略記である。 x → a + 0 とはつまり x = a + δ で δ → 0 となることを意味しているともいえる。 尚 x → 0 + 0 は x → +0 と略記する。 無限小を用いて a + 0 を代入するのだと思っても良い。 その意味で f(a + 0) = limx→a+0 f(x) と書くこともある。
左側極限と右側極限を合わせて片側極限という。
片側極限を求める場合というのは, 多くの場合, x → a ± 0 の a が考えている函数 f(x) の定義域の端点である場合や, x > a, x < a での扱いが分かれている場合等に限られる。 それ以外の普通の函数では片側極限を考える場合は極めて少ない。