あんまりこの辺の練習問題を見ないので, この site にしては珍しく練習問題を掲げておこう。
計算せよ。 但し不定形には 「不定」 と答えること。
1. 3×∞.
2. -2×∞.
3. 100 - ∞.
4. ∞ + 2002.
5. (-∞)×(-5).
6. ∞ - ∞.
7. (+0)×7.
8. -8÷(-0).
9. (+0)÷(-0).
10. 4×(-0).
11. ∞×(-∞).
12. ∞ + ∞.
13. (-∞)÷(-∞).
14. (+0)×(-∞).
15. ∞×(3 - ∞).
16. 3×∞ - 2×∞.
17. (∞ + 1) ÷ ∞.
18. ∞×∞ - ∞.
19. (-∞) - ∞.
20. (3×∞ - 2)÷(-∞).
もういい加減飽きたでしょ ? (笑)
略解へ
そういえば, この ∞ という記号は Wallis という人が考えたそうですよ。
Euclid の原論には 「線分は何処までも延長できる (To produce a finite straight line continuously in a straight line. Κα｀ι πεπερασμε´νην ευ'θει^αν κατ｀α τ｀ο σθνεχ｀εσ ε'π' ευ'θει´ασ ε'κβαλει^ν.)」(postulate 2) と書いてあって, 「最初から無限に長い直線」 というものを考えていないらしいことが分かる。 こういうところから, ギリシャ人達はどうやら無限というものに気付いていながら, いわば目を背けていたということが想像できる。 (原文と英訳の部分は The Thirteen Books of Euclid's Elements, translated from the text of Heiberg, with Introduction and Commentary by Sir Thomas L. Heath, Dover Publications, INC., New York による)
同じようなことは, 例えばアルキメデスなどが, 円の面積や, 放物線と直線で囲まれた部分の面積, 或いは球の表面積と体積などを求めた際に, 所謂 「取り尽し法」 という, 今日で言う 「挟み撃ち」 をわざわざ用いており, lim (極限) の操作を故意に割けているらしいことからもうかがわれる。
もう一寸何か書かないと, 問題と解答の間が狭すぎるよねぇ, どうしましょう (^_^;;
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ま, いっか...。
1. ∞, 2. -∞, 3. -∞, 4 ∞, 5. ∞, 6. 不定, 7. +0, 8. ∞, 9. 不定, 10. -0, 11. -∞, 12. ∞, 13. 不定, 14. 不定。
15. 与式 = ∞×(-∞) = -∞.
16. 与式 = ∞ - ∞ は不定。 (この文中の 「は」 を 「=」
に書き換えることは出来ない。)
17. 与式 = ∞÷∞ は不定。
18. 与式 = ∞ - ∞ は不定。
19. 与式 = -1 ×∞ - 1 ×∞ = -1× (∞ + ∞) = -∞.
20. 与式 = (∞ - 2) ÷ (-∞) = ∞÷(-∞) は不定。
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