数列の算術平均の極限

定理

lim_n→∞ a_n = α ⇒ lim_n→∞ (Σ_{k = 1} ⁿ a_k / n) = α.

これは Cauchy によるものだということである。

証明

b_n = a_n - α と置くと, lim_n→∞ b_n =  lim_n→∞ (a_n - α) = 0 で, a_n = b_n + α だから

Σ_{k = 1} ⁿ a_k / n = Σ_{k = 1} ⁿ (b_k + α)/ n = α + Σ_{k = 1} ⁿ b_k / n.

だから, lim_n→∞ (Σ_{k = 1} ⁿ b_k / n) = 0 を示せばよい。

任意の ε > 0 に対し, ある番号 N よりも大きい n に関して, |b_n| < ε/2. 又 M = max(|b₁|, |b₂|, ..., |b_N|) と置くと,

n > N
⇒
 |(Σ_{k = 1} ⁿ b_k)/n| = |(Σ_{k = 1} ^N b_k + Σ_{k = N} ⁿ b_k)/n|
≦ (|Σ_{k = 1} ^N b_k| + |Σ_{k = N} ⁿ b_k|)/n < (MN + ε(n - N)/2)/n < MN/n + ε/2.

n を十分大きくとって MN/n < ε/2 とすると |(Σ_{k = 1} ⁿ b_k)/n| < ε. 従って 0 に収束する□

これは次のように拡張できる。

p_n > 0, Σ_k=1^∞ p_k = ∞, lim_n→∞ a_n = α ⇒ lim_n→∞ ((Σ_{k = 1} ⁿ p_ka_k)/(Σ_{k = 1} ⁿ p_k) = α.

証明は同様である。

次の二つは難しいので, 定理だけ掲げておく。

一般化の別の形が, 次の Kronecker の定理である。

[定理]

{p_n} が p_n+1 > p_n > 0, lim_n→∞ p_n = ∞ を満たし, Σ_k=1^∞ a_k が収束するならば, lim_n→∞ ((Σ_k=1^∞ p_ka_k)/p_n) = 0.

最大限に一般化したものが次の Toeplitz の極限値定理である。

[定理 1]

{p_nm}, m = 1, 2, ...., n; n = 1, 2, 3, ...... が次の二つの条件を満たすとする。

(1) 各 m に対して lim_n→∞ p_nm = 0.
(2) 或る M > 0 が存在して, どの n に対しても常に Σ_m=1ⁿ |p_nm| ≦ M が成り立つ。

このときもしも lim_n→∞ a_n = 0 ならば lim_n→∞ Σ_m=1ⁿ (p_nma_m) = 0.

[定理 2]

定理 1 の条件 (1), (2) に加えて更に

(3) lim_n→∞ Σ_m=1ⁿ p_nm = 1

を満たすとすると lim_n→∞ a_n = α ならば lim_n→∞ Σ_m=1ⁿ (p_nma_m) = α. (但し, α = ±∞の時は p_nm ≧ 0 とする)

[定理 3]

前の条件 (1), (2), (3) に加え, 更に

(4) 各 m に対して lim_n→∞ p_{n n-m} = 0

とすると, 二つの数列 {a_n}, {b_n} が有限な極限値 α, β を各々持つならば, lim_n→∞ Σ_m=1ⁿ (p_nma_mb_n-m) = αβ.

学生諸君がよくやる間違いに次のようなものがある。

lim_n→∞ a_n = α
⇒ lim_n→∞ (Σ_{k = 1} ⁿ a_k / n) = lim_n→∞ (Σ_{k = 1} ⁿ α/ n) = α.

しかし明らかに一般には lim_n→∞ a₁ = α ではないのだから, これは誤りである。

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