隣接二項の比の極限が分かっている場合

定理

数列 {a_n} が a_n > 0 を満たしている場合。

lim_n→∞ (a_n+1/a_n) < 1 ⇒ lim_n→∞ a_n = 0.
lim_n→∞ (a_n+1/a_n) > 1 ⇒ lim_n→∞ a_n = +∞.

証明

lim_n→∞ (a_n+1/a_n) = r とし, r < k となる定数 k を採れば, 充分大きい N に対して n ≧ N である限り a_n+1/a_n ≦ k となる。 即ち,

a_N+1 ≦ ka_N,
a_N+2 ≦ ka_N+1,
………………,
a_N+p ≦ ka_N+p-1,
……………………

よって

a_N+1 ≦ ka_N,
a_N+2 ≦ k²a_N,
………………,
a_N+p ≦ k^pa_N,
……………………. (本来これは数学的帰納法で証明する)

従って 0 < r < k < 1 の時は,

0 ≦ lim_p→∞ a_n+p ≦ a_N lim_p→∞ k^p = 0

から lim_n→∞ a_n = 0.

同様にして r > 1 の時は 1 < k < r をとれば a_N+p ≧ k^pa_N が示せるので,

lim_p→∞ a_n+p ≧ a_N lim_p→∞ k^p = +∞

から lim_n→∞ a_n = +∞■

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