k
≧ 0 の時は明らか。 k < 0 の時は内積には次の性質がある。
[1] a・a = |a|2,
[2] a・b = b・a, [交換法則
commutative law]
[3] ∀k∈R((ka)・b = k(a・b)),
[4] (a + b)・c = a・c
+ b・c. [分配法則 associative law]
応用面にのみ興味のある人は証明は飛ばして良い。
証明: vector a (又は b 又は c) が 0 の時は明らかだから, どの vector も 0 ではないとして証明する。
[1] ∠(a, a) = 0 として良いから定義より明らか。
[2] 定義より明らか。
[3] k
≧ 0 の時は明らか。 k < 0 の時は
∠(-a, b) = π - ∠(a, b)
だから
(-a)・b = |-a||b|cos(π
- ∠(a,
b))
= |a||b|(-cos∠(a,
b)) = -(a・b).
なので一般に成り立つ。
[4] 簡単の為に図のように角度を置く。
第一余弦公式によって
|a + b| = |a|cos α + |b|cos β … (1)
さて定義より
(a + b)・c = |a + b||c|cos γ
だが, これに (1) を代入して
(a + b)・c = |a||c|cos α cos γ + |b||c|cos βcos γ.
ところで, 図から明らかに
|a|sin α = |b|sin β
だから上記の二つ及び三角函数の加法公式から
(a + b)・c = |a||c|cos
α cos γ + |b||c|cos β cos γ + |c|sin γ
(-|a|sin α + |b|sin β)
= |a||c|(cos α cos γ - sin α sin γ) + |b||c|(cos
β cos γ + sin β sin γ)
= |a||c|cos(α + γ) + |b||c|cos(γ
- β)
= a・c + b・c.□
(質問があったので書いておくが, この [4] の証明は私の original である)
以上のことから
|a - b|2 = (a - b)・(a
- b)
= a・(a
- b) - b・(a
- b)
= |a|2 + |b|2 - a・b
- a・b
= |a|2 + |b|2 - 2a・b
= |a|2 + |b|2 - 2|a||b|cos
∠(a,
b)
であるから, 第二余弦公式は内積と同値であることが分かる (内積の分配法則の証明中で第一余弦公式を使っており, これが第二余弦公式と同値だったことを思い出そう)。
尚, 通常の教科書では座標と第二余弦公式とから, 成分で内積を表してから分配法則を代数的に証明することが多いようである。