二項係数

先ず階乗から。

0! = 1, 1! = 1, 2! = 1×2 = 2, 3! = 1×2×3 = 6, ......

というように, n > 0 が自然数のとき,

n! = n×(n-1)!

と決め, これを n の階乗 (factorial) という。 n! は n が少し大きくなるだけで, 驚くほど大きくなる。 ここに JAVA でその値を計算できる page があるので, 興味があったらやってみてください。

これを用いて

と定義し, これを二項係数 binomial coefficient という。 記号 C は組み合わせ combination という意味である。

公式:

(1) _nC_n = _nC₀ = 1.
(2) _nC₁ = n.
(3) _nC_r = _nC_n-r.
(4) _nC_r + _nC_r-1 = _n+1C_r. (この公式はパスカルの三角形と関係している)

(1) -- (3) の証明は ! で書いた定義に代入すればすぐ得られるので省略。

(4) の証明:

これに意味をつければつけられないわけではないが, 意味をつけると却って分かりにくいと思われるので省略 (笑)。

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