必要条件・十分条件

ある種の言明ははっきりと正しいかそうでないかが判定できる。 そのような言明を, 論理学では命題 proposition と呼ぶ。そして正しい命題は真である true と呼ばれ, 正しくない命題は偽である false と呼ばれる。

命題の中には 「A ならば B」 という形をしたものがある。 これを記号で A ⇒ B と書く。 命題 「A ⇒ B」 は 「もしも A であると仮定すればその時 B となる」 という意味である。 この命題は A が偽の時には無条件で真であると定める。 A が真で B が偽であるとすれば, その時のみこの命題は偽である (下記)。 A をこの命題の前件 antecedent, B のことを後件 succedent という。 (記号論理学の方面で例えば Gödel の論文などでも, 論理学の記号として A ⇒ B のことを A ⊃ B と書くことがある。 例えば 「(『A ならば B』 且つ A) ならば B」 というのを (A ⊃ B) ∧ A ⇒ B と書く類。 集合論の記号と紛らわしいので, この site では使わない。)

命題 「A ⇒ B」 が真である時 A を B である為の十分条件 sufficient condition といい, B を A であるための必要条件 necessary condition という。 図式的に書けば

十分条件 ⇒ 必要条件

である。 私の先生は 「十分ある方から, 必要な方へと物は流れるのだ」 と言って覚えさせた。

一般に A ⇒ B (これを順命題という) が真であっても, その逆命題 converse B ⇒ A が真であるとは限らない。 例えば x = 0 ⇒ xy = 0 ではあるが, 逆に xy = 0 であるからといって, x = 0 とは限らない (例えば x = 1, y = 0)。

もしも A ⇒ B と, B ⇒ A が共に真であるならば A と B は同値 equivalent であるといわれ, A ⇔ B と書かれる。 又, A と B は互いに他の必要十分条件 necessary and sufficient condition であるといわれる (完全条件 complete condition という用語もあるが, あまり用いられない)。

又, A の否定 negation, 即ち 「A でない」 を記号 ¬A で表す。 この時, A ⇒ B に対し, 命題 ¬A ⇒ ¬B (A でないならば B でない) を元の命題の裏 converse of contrapositive という。 逆と同様, 順命題が真であるからといって, その裏まで真とは限らない。 しかし, 逆の裏, 即ち対偶 contraposition, contrapositive は必ず順命題と真偽が一致する。

何故なら, T で真である命題, F で偽である命題を表すとすれば (T ⇒ F のときだけ, 命題 A ⇒ B は偽であったことを思い出そう), ¬T = F, ¬F = T であるから

というわけだからである。

必要条件と十分条件という言葉は, どうやらアリストテレス伝来の言葉らしいが, どうも評判が悪い。 日本人だけでなく, 世界中の人が混同するので, あなたが慣れなくてどっちがどっちだか分からないとしても, 悲観する必要はまったくない。

ある命題 A が成り立つようなものの範囲を真理集合 truth set というが, A ⇒ B が真である場合の A, B の真理集合の関係は A ⊆ B となっている (Venn 図で描くと下の図の通り)。

つまり, B の範囲に入る為には A であれば十分であり, A の範囲に入る為には B であることが先ず必要だからというのが, その名の由来であるという。

一寸良い説明をここで見つけたので, 紹介しておく。

論理学者の石本新氏によれば: 必要条件という言葉が解りづらいのは, necessary condition の誤訳だからで, 本当は 「必然条件」 とすべき。 「条件 p が成り立っていれば必然的に成り立つ条件」 という意味。 だそうだ。 ここによる。 (Sunday, 29th August, 2009. 追記)

注: 命題 A ⇒ B が偽であるのは A が真で, B が偽である時に限る, というこの定義は非常に評判が悪い。 こういう風に定義するのは, 要するに順命題と対偶との真偽が一致するためであるといってもいい。 非常に形式なものであると納得できれば良いが, そうでない人のために, 一応気分を述べておく。

良く, 「そんな馬鹿なことが起こるのなら, 臍 (へそ) で茶を沸かしてしまう」 とか 「お日様が西から昇ったら, これこれの事をしてやろう」 等と言うが, 「そんな馬鹿なことが起こる」 とか 「お日様から西から昇る」 というのは命題としては偽である --- と少なくとも言っている人はそう思っている --- はずである。 しかし, この言明自体は正しい --- と少なくとも言っている人はそう思っているはずだ。 だから命題 A ⇒ B は前件 A が偽の時は正しいことにしてしまえ --- というのが, そう定義した気分である --- といったら言い過ぎか ?

ついでに言っておくと, こういう定義であるから, 命題 A ⇒ B は ¬A∨B (「『A でない』か又は B である」 と読む) と同じこと (同値) である。 従って ¬(A ⇒ B) は ¬(¬A∨B) 即ち A∧¬B (｢A であってしかも 『B でない』」 と読む) と同値である。

参考:

同値, if and only if, Necessary and sufficient conditions, Causality.
Criterion, Condition, Necessary, Sufficient, Iff, Equivarent.

準備の目次へ。