相加平均と相乗平均の関係

以下では出て来る文字 a_i は全て正の数とする。

n 個の数の和を, その個数で割ったものをそれらの数の相加平均 (算術平均 arithmetic mean) という, ie

(Σ_{i = 1}ⁿ a_i)/n = (a₁ + a₂ + … + a_n)/n

が a₁, a₂, ..., a_n の相加平均である。

n 個の数の積の n 乗根をそれらの数の相乗平均 (幾何平均 geometric mean) という, ie

が a₁, a₂, ..., a_n の相乗平均である。

余り使わないが, n/(Σ_{i = 1}ⁿ (1/a_i)) = n/(1/a₁ + 1/a₂ + … + 1/a_n) を a₁, a₂, ..., a_n の調和平均 harmonic mean という。

これらの間には次のような関係が成立する。 これを相加平均と相乗平均 (と調和平均) の関係という。

等号は全ての ai が等しい viz, a₁= a₂ = … = a_n のとき (しかもその時だけ) に成立する。

実は左半分の不等式 の成立が分かれば, 右半分は, 逆数を取ることによって であることがすぐに分かるので, 左半分 (所謂相加平均と相乗平均の関係) だけを示せばよい。

証明は幾つか知られているが, その大半はこれからやる (やろうとしている) 微分を使う証明なので, 微分を使わない代数的な証明だけをここに掲げておく。 証明は帰納法による。

i) n = 2^p の場合。

p = 1, 即ち n = 2 の場合,

(a₁ + a₂)/2 ≧ √(a₁a₂) ⇔ (a₁ + a₂) ≧ 2√(a₁a₂)

だから, このあとの方の不等式を証明すればよい。(lhs = left hand side = 左辺, rhs = right hand side = 右辺)

lhs - rhs = a₁ - 2√(a₁a₂) + a₂
=(√a₁)² - 2√(a₁)√(a₂) + (√a₂)²
=((√a₁) - (√a₂))² ≧ 0.

等号成立は (√a₁) = (√a₂) 即ち a₁ = a₂ である。

n = 2^p+1 の場合。

等号の成立は, 最初の部分で 且つ , 次の部分で であるから, 結局, .

ii) 一般の場合。

2 以上の全ての整数 n に対し, 整数 p が存在して 2^p-1 < n ≦ 2^p である。 この p を採って m = 2^p - n (即ち 2^p = m + n) とする。 簡単のため, 以下では A_n = (Σ_{i = 1}ⁿ a_i)/n = (a₁ + a₂ + … + a_n)/n と置く。つまり Σ_{i = 1}ⁿ a_i = a₁ + a₂ + … + a_n = nA_n である。

さて, i) によって

で, 等号は a₁ = … = a_n = A_n 即ち a₁ = … = a_n の時。

ここで lhs = (nA_n + mA_n)/(n + m) = A_n. より

A_n ≧ ^n+m√(a₁… a_nA_n^m) > 0 (正であるのは大本の仮定による)

であるから両辺を n+m 乗して

A_n^n+m ≧ a₁… a_nA_n^m.

An ≧ 0 だから A_nⁿ ≧ a₁… a_n. 両辺の n 乗根を求めれば, それが相加平均と相乗平均の関係になっている。■

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