2004 年数学 II ・ B 解答と解説

第一問 (必答 30 点)

[1] 真数なる条件
x - 1 > 0,
3 - x > 0
より 1 < x < 3 … (a)
この条件下で

log₂(x - 1) + log_1/2(3 - x)
= log₂(x - 1) + log₂(3 - x)/log₂(1/2)
= log₂(x - 1) - log₂(3 - x) ≦ 0

log₂(x - 1) ≦ log₂(3 - x)
底 2 > 1 より
x - 1 ≦ 3 - x
2x  ≦ 4
故に x ≦ 2.

これと (a) より 1 < x ≦ 2. (各 2 点)

この時 X = 2^x とすると
2¹ < 2^x < 2²
2 < X ≦ 4. (各 1 点)

y = 4^x - 6・2^x + 10
　= (2^x)² - 6・2^x + 10
　= X² - 6X + 10
　= (X - 3)² + 1.(3 点)

より y は X = 2^x = 4 即ち x = 2 の時, 最大値 2. (各 2 点)
で X = 3 即ち x = log₂3 の時, 最小値 1 を採る。 (各 2 点)

極めて基本的な問題。 が底の変換公式を知らないと難しい。

[2]

(1) 積を和に変える公式によって
sin(θ - a) - sin θ
= 2 cos((2θ - a)/2)・sin(-a/2)
= -2 cos((2θ - a)/2)・sin(a/2) = 0.

0°< a < 180°だから sin(a/2) ≠ 0 なので
cos((2θ - a)/2) = 0.

0°≦ θ ≦ 180°, 0°< a/2 < 90°であるから -90°< θ - a/2 < 180°なので
θ - a/2 = 90°つまり θ = 90°+ a/2. (3 点)

-180°< θ - a < 180°, sin(θ - a) = 1/2 より
θ - a = 30°or 150°
90°+ a/2 - a = 30°or 150°
90°- a/2 = 30°or 150°
-a/2 = ±60°
a = ±120°
0°< a < 180°より a = 120°(2 点)

(2) 従って
f(θ) = -2 cos(θ - 60°)sin 60°
= -(√3)cos(θ - 60°).

-60°≦ θ  - 60°≦ 120°より
θ = 180°の時最大値  -(√3)・(-1/2) = (√3)/2 (各 2 点),
θ = 60°の時最小値 -√3 (各 2 点)

積を和に変える公式を知らないと手に負えないであろう。 それ以外は不等式処理が面倒か。

第二問 (必答 30 点)

(1) a ≠ 1 より a + 1 ≠ 2a なので

l: y = ((4a² - (a + 1)²)/(2a - (a + 1)))(x - 2a) + 4a²
　　= ((3a + 1)(a -1)/(a - 1))(x - 2a) + 4a²
　　= (3a + 1)(x - 2a) + 4a²
　　= (3a + 1)x - 2a² - 2a. (傾きが 2 点, y 切片が 1 点)

b ≠ 1 より b + 1 ≠ 2b なので, 同様にして

m: y = (3b + 1)x - 2b² - 2b.

l と m より (3a + 1)x - 2a² - 2a = (3b + 1)x - 2b² - 2b.
3(a - b)x = 2((a² - b²) + (a - b))
　　　　　　= 2(a - b)(a + b + 1).
a ≠ b より x = (2/3)(a + b + 1). (オカ)

l の方に代入して
y = (2/3)(3a + 1)(a + b + 1) - 2a² - 2a
　= (2/3)(a + b + 1) + 2a(a + b + 1) - 2a² - 2a
　= 2ab + (2/3)(a + b + 1) (キ) (オカキ で 4 点)

よって a → b の時
x → (2/3)'a + b + 1) = (4/3)a + 2/3,
y → 2a² + (4/3)a + 2/3. (この四つで 3 点).

(2) x = (4/3)a + 2/3,
y = 2a² + (4/3)a + 2/3.
最初の式から 3x = 4a + 2. 3x - 2 = 4a だから a = (3x - 2)/4.
これを第二式に代入して,
D: y = 2・((3x - 2)/4)² + x
　　　= (9x² - 12x + 4 + 8)/8
　　　= (9x² - 4x + 4)/8 (5 点)

y' = (18x - 4)/8 = (9x - 2)/4.
y'_{x =(4/3)a+2/3}= (3・((4a+2)/3) - 2)/4 = (12a + 6 - 2)/4 = (12a + 4)/4 = 3a + 1 (3 点).

求める接線を y = kx (k ≠ 1) と置くと
(9x² - 4x + 4)/8 = kx.
9x² - 4x + 4 = 8kx.
9x² - 4(1 + 2k)x + 4 = 0.
この x に関する二次方程式の判別式を D とすると
D/4 = 2²(1 + 2k)² - 36
= 4(1 + 2k)² - 9)
= 4(1 + 2k + 3)(1 + 2k -3)
= 4(2k + 4)(2k - 2)
= 16(k + 2)(k - 1) = 0.
k ≠ 1 より k = -2 (4 点)

(3) y = x²,
　　y = (9x² - 4x + 4)/8
より 8x² = 9x² - 4x + 4.
x² - 4x + 4 = (x - 2)² = 0. だから x = 2, y = 4 より (2, 4) (4 点)

y 切片を見れば, 積分区間で y = (9x² - 4x + 4)/8 の方が上にあることは明らかなので
∫₀² ((9x² - 4x + 4)/8 - x²)dx = (1/8)∫₀² ( 9x² - 4x + 4 - 8x²)dx
= (1/8)∫₀² (x² - 4x + 4)dx = (1/8)∫₀² (x - 2)²dx = (1/8)[(x - 2)³/3]₀² =  (1/8)(0 - (-8)/3)
= 1/3. (4 点)

(2) の最後は微分して公式にいれるよりこれの方が速い。

第三問 (選択 20 点)

本問では vectors はすべて太字斜体を用いる。

PP' = OP' - OP
　　　= (BP' + OB) - (AP + OA)
　　　= t'v + (0, 5, -2) - tu.
m|| v, m ⊥ PP'  より
0 = v・PP'  = v・(t'v + (0, 5, -2) - tu.)
　= t'|v|² + v・(0, 5, -2) - tv・u
　= 2t' - 2 - t.
故に 2t' = 2 + t.
t' = 1 + (1/2)t. (2 点)

故に
PP' = (1 + (1/2)t)(1, 0, 1) + (0, 5, -2) - t(1, 1, 0)
　　= (1 + (1/2)t - t, 5 - t, -2, + 1 + (1/2)t)
　　= (1 - (1/2)t, 5 - t, -1 + 1/2t) (成分毎各 2 点, 計 6 点)

QQ' = OQ' - OQ
　　= (AQ' + OA) - (BQ + OB)
　　= s'u - (sv + (0, 5, -2))
　　= (5/2 + (1/2)s)(1, 1, 0) - s(1, 0, 1) - (0, 5, -2)
　　= (5/2 + (1/2)s - s, 5/2 + (1/2)s - 5, -s + 2)
　　= (5/2 - (1/2)s, -5/2 + (1/2)s, 2 - s) (成分毎各 2 点, 計 6 点)

(2) |PQ' |² = 2(s' - t)², |QP' |² = 2(t' - s)². だから
(s' - t)² = (t' - s)².
(5/2 + (1/2)s - t)² = (1 + (1/2)t - s)².
従って
5/2 + (1/2)s - t = 1 + (1/2)t - 2 or 5/2 + (1/2)s - t = -1 - (1/2)t + s.
(3/2)s = (3.2)t - 3/2 or -(1/2)s = (1/2)t - 7/2
s = t - 1 or s = 7 - t

よって s = 7 - t 又は s = -1 + t. (各 2 点)

(3) s = 7 - t を代入して
QQ' = (5/2 - (1/2)(7 - t), -5/2 + (1/2)(7 - t), 2 - (7 - t))
　　= (5/2 - 7/2 + (1/2)t, -5/2 + 7/2 - (1/2)t, 2 - 7 + t)
　　= (-1 + (1/2)t, 1 - (1/2)t, -5 + t).

PP' ⊥QQ'  より
0 = PP' ・QQ'  = (1 + (1/2)t)(-1 + (1/2)t) + (5 - t)(1 - (1/2)t) + (-1 + (1/2)t)(- 5 + t)
　= -1 + t + (1/4)t² + 5 - (7/2)t + (1/2)t² + 5 ｰ (7/2)t + (1/2)t²
　= 9 - 6t + (3/4)t² = 3((1/4)t² - 2t + 3)
　= (3/4)(t² ｰ 8t + 12)
　= (3/4)(t - 2)(t - 6).
従って t = 2, 6. (2 点)

これは時間がかかる。 いちいち検証しないで, 問題文に書いてあることは信用して進めないと時間が足りない。

第四問 (選択 20 点)

(1) bz³ + (1 - b)z² = az + 1 - a
bz³ + (1 - b)z² - az + a - 1 = 0.
bz²(z - 1) - a(z - 1) + z² - 1 = 0.
(z - 1)(bz² + z + 1 - a) = 0 (因子毎各 2 点 計 4 点)

¬z∈R より bz² + z + 1 - a = 0.
t の二次方程式 bt² + t + 1 - a = 0 を考えると, 係数は R だから, 一つの解が (虚数) z ならば, もう一つの解は`z である。 従って解と係数の関係から
z +`z = -1/b, (2 点)
z`z = (1 - a)/b. (2 点)

故に
2x = -1/b, x² + y² = (1 - a)/b.
最初の方から b = -1/(2x) (サ 2 点) これを二番目の式に代入して
x² + y² = (-1/b)(a - 1) = 2x(a - 1) より a - 1 = (x² + y²)/(2x)
よって a = 1 + (x² + y²)/(2x) (キクケコ 2 点).

0 < 1 + (x² + y²)/(2x) < 1, 0 < -1/(2x) < 1.
二番目から
-2x > 1 故に x < -1/2 (2 点)
一番目から -1 < (x² + y²)/(2x) < 0. 直ぐ上の結論から x < 0 なので
-2x > x² + y² > 0 (右側の不等式は x ≠ 0 より自明)
x² + 2x + y² < 0
(x + 1)² + y² < 1. (2 点)

(2) (1) をなぞって:
線分 A₃A₄ と線分 A₁A₂ が両端以外の点 C で交わるとし, C(w) で, C が線分 A₁A₂ を a : (1 - a) (0 < a < 1) に内分しているとすると
w = az² + (1 - a)z.
で同様に線分 A₃A₄ を b : (1 - b) (0 < b < 1) に内分していえるとすると
w = bz⁴ + (1 - b)z³.
即ち
bz⁴ + (1 - b)z³ = az² + (1 - a)z.
z ≠ 0 より
bz³ + (1 - b)z² = az + 1 - a.
これは (1) の最初の方程式と同じだから, (1) が両端点以外の点で交われば, この場合も同様に必ず交わる。 即ち チ は 0. (3 点)

この問題が難しいと言われているようであるが, それほど難しくないと思う。 確かに最初の方を読むのが面倒ではある。

第五問 (選択 20 点)

(1) 硬貨が表の場合: (1, 2), (1, 5); (2, 1), (2, 4); (3, 3), (3, 6); (4, 2), (4, 5); (5, 1), (5, 4); (6, 3), (6, 6) の 12 通り。 (2 点)

裏の場合: (1, 2)×2; (3, 3)×2; (4, 2)×2; (5, 1), (5, 4); (6, 3)×2; (8, 1), (8, 4) の 12 通り。 (2 点)

従って 24/(36・2) = 1/3. (2 点)

上記の場合で目の差が 2 以下のものは: (1, 2), (2, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (4, 5), (5, 4), (6, 6); (1, 2)×2, (3, 3)×2, (4, 2)×2, (5, 4) の 15 通り。 従って
15/24 = 5/8. (2 点)

(2) 二つの骰子の目の出方は互いに独立であるから, 硬貨の表が出たときの平均は (1 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8)/6 + (1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4)/6 = 27/6 + 15/6 = 9/2 + 5/2 = 14/2 = 7. (2 点)

分散は

この表から, 定義 V(X) = E((X - E(X))²) = E((X - 7)²) に従って計算する:
(5² ・ (1 + 1) + 4² ・ (2 + 2) + 3² ・ (3 + 3) + 2² ・ (4 + 4) + 1²・ (5 + 5))/36
= (50 + 64 + 54 + 32 + 10)/36 = 210/36 = 35/6. (2 点)

裏の時も目の和の分布は一切変わらないから, 平均 7 (2 点), 分散 35/6 (2 点).

従って全体で考えても平均 7 (2 点), 分散 35/6 (2 点).

随分変わった問題である。 これは計算が大変なので, 私だったらこれ以外の問題を選ぶ。

(2) の解き方だが, もっと良い解き方があったら教えて欲しい。

第六問 (選択 20 点)

(1) 特に解説はいらないと思うが ア 0 イ 4. (各 1 点)

(2) log₁₀2⁶³ = 63 log₁₀2 ≒ 63・0.3010 = 18.9630.
18 ≦ log₁₀2⁶³ < 19.
10¹⁸ ≦ 2⁶³ < 10¹⁹ より 19 桁。 (3 点)

4^p ≧ 2⁶³ とすると, 2^2p ≧ 2⁶³ で, 底 2 > 1 より 2p ≧ 63 即ち p ≧ 63/2 = 31.5 より p ≧ 32. (3 点)

同様に 8^p ≧ 2⁶³ とすると, 2^3p ≧ 2⁶³ で, 底 2 > 1 より 3p ≧ 63 即ち p ≧ 21. (3 点)

(3) ケ 4 (1 点).

X = 8, N = 5 の時, 「X を N で割った余り」 を求めれば良いのだから B = 3. (2 点)

5 で割った余りの最大は 4 であるから, A*B は最大 4*3 = 12 になりうる。 3 と 5 は互いに素だから, 3^p (mod 5) は 1, 2, 3, 4 の値をすべて採りうることが知られている (実際に実行してみると 140 行の実行が三回目でこの数になる) ので, 12. ( 2 点)

130 行から 160 行までの loop は丁度 p = 2⁶² 回実行されるので,
log₁₀s = log₁₀(10^-8・2⁶²) = -8 + 62log₁₀2
≒ -8 + 62・0.3010 = -8 + 18.6620 = 10.6620.
従って 10¹⁰ ≦ s < 10¹⁰⁺¹. (4 点)

数学 B の program の問題は アイケ だけで, 後はどう考えても数学 II の問題である。 傾向が大分違う。

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