証明 1

先ず x > 0 に対し

f(x) = (a₁ + a₂ + … + a_n-1 + x)/n - ⁿ√(a₁a₂…a_n-1x)

と置く。 このとき

f'(x) = (1 - (ⁿ√(a₁ a₂… a_n-1)x^{1/n - 1}))/n

であって, f'(x) = 0 と置くと x = ^n-1√(a₁ a₂… a_n-1) である。 このとき f(x) が最小値を取ることはすぐに分かる。 最小値は

f(ⁿ√(a₁ a₂… a_n-1))
= (a₁ + a₂ + … + a_n-1 + ^n-1√(a₁ a₂… a_n-1) - n・ ⁿ√((a₁ a₂… a_n-1)^n/(n-1))/n
= (a₁ + a₂ + … + a_n-1 + (n-1)・^n-1√(a₁ a₂… a_n-1))/n.

そこで数学的帰納法を用いて証明する。

n = 1 の時は明らかである。

f(x) ≧ (a₁ + a₂ + … + a_n-1 + (n-1)・^n-1√(a₁ a₂… a_n-1))/n … 最小値だから
= (n-1)((a₁ + a₂ + … + a_n-1)/(n - 1) + ^n-1√(a₁ a₂… a_n-1))/n ≧ 0 … 帰納法の仮定。

従って, 言えた。 等号は a_n =  ^n-1√(a₁ a₂… a_n-1) 且つ a_n-1 =  ^n-2√(a₁ a₂… a_n-2) 且つ ... 且つ a₂ = a₁. 即ち a₁ = a₂ = … = a_n.■

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