n∈N に対し, f(x) = xn - nx + (n - 1) と置く。
f'(x) = nxn-1 - n = n (xn-1 - 1) だから
n = 1 の時 f'(x) = 0, n ≧ 2 の時は f'(x) = n(x - 1)(xn-2 + … + x + 1) であるから x ≧ 0 の時 f(x) ≧ f(1) = 0.
従って x ≧ 0 の時, n - 1 + xn ≧ nx で等号成立は x = 1 の時のみ。
さて先ず
An = ((a1 + a2 + … + an)/n, Gn = n√(a1a2…an) と置くと, 明らかに
An = ((n - 1)An-1 + an)/n, an = Gnn/Gn-1n-1 であるから (数学的帰納法によって)
An = ((n - 1)An-1 + Gnn/Gn-1n-1)/n
= (Gn-1/n)((n - 1)An-1/Gn-1 + (Gn/Gn-1)n)
≧ ( Gn-1/n)((n - 1) + (Gn/Gn-1)n) …
帰納法の仮定による
≧ ( Gn-1/n)(n・ (Gn/Gn-1)) …
上記不等式による
= Gn.
等号成立は (これが面倒なのだが)
Gn/Gn-1 = n√(a1a2…an-1an)/n-1√(a1a2…an-1)
= 1
⇔ a1n-1a2n-1…an-1n-1ann-1/(a1na2n…an-1n)
= 1 … 辺々 n(n-1) 乗した
⇔ ann-1/(a1a2…an-1) =
1
⇔ ann-1 = a1a2…an-1
より,
ann-1 = a1a2…an-1
且つ an-1n-2 = a1a2…an-2
且つ ... 且つ a3 = a2a1 且つ a2
= a1
⇔ a1
= a2 = … = an.■