原始函数


[review]

[微分積分学の基本定理]
函数 y = f(x) は区間 [a, b] 上連続で, F'(x) = f(x) とする。 このとき

ab f(x)dx = F(b) - F(a).


ここに至って我々は初めて微分したら f(x) になる函数 F(x) というものの重要性に気付いたわけである。 この函数には名前がついている。

与えられた函数 f(x) に関し, それを導函数にもつ函数 F(x), 即ち F'(x) = f(x) を函数 f(x) の原始函数 primitive, primitive function という。

上記の微分積分学の基本定理に拠れば, 定積分, つまり函数 y = f(x) のグラフと x 軸で囲まれる部分の面積はほぼ f(x) の原始函数を求める操作に尽きることになる。

そしてこの操作がえらく難しいということを我々は思い知るであろう (笑)。

 

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ある函数 f(x) の原始函数は唯一つには定まらない。 実際, F'(x) = f(x) としても, 定数は微分すると 0 であるから

(F(x) + 1)' = F'(x) = f(x),
(F(x) - 3)' = F'(x) = f(x) などなど。

というわけで, ある函数 f(x) の原始函数の一つを F(x) とすると, 他のすべての函数は定数 C を用いて F(x) + C と書ける。 そしてこれ以外には f(x) の原始函数はない。 というのは, 別の原始函数 G(x) があったとして, つまり G'(x) = f(x) だったとすると, (G(x) - F(x))' = f(x) - f(x) = 0 だが, 微分法の定理によって, ある定数 C を用いて G(x) - F(x) = C となるからである。 移項すれば G(x) = F(x) + C となる。


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