せっかくだから置換積分を面積・体積を求めるのに応用してみよう。
[1] 円の面積
半径 r (> 0) の円の方程式は
x = r cos t,
y = r sin t,
0 ≦ t ≦ 2π
と書ける。 面積の定義から, 求める面積 S は
S = ∫-r ≦ x ≦ r, y ≧ 0 y dx - ∫-r ≦ x ≦ r, y ≦ 0 y dx
= ∫π0 r sin t d(r cos t) - ∫π2π sin
t d(r cos t) … ここがみそ !
= ∫π0 r sin t d(r cos t) + ∫2ππ sin
t d(r cos t)
= ∫2π0 r sin t d(r cos t)
= r2∫2π0 sin t (-sin t) dt
= r2∫02π sin2 t dt
= (r2/2)∫02π (1 - cos 2t) dt
= (r2/2)[t - (sin 2t)/2]02π
= (r2/2)・2π = πr2.
[2] 球の体積
半径 r (> 0) の球の体積は, 上記の円の方程式を, x 軸の周りに回転させた回転体の体積として求めれば良い。 よって求める体積 V は
V = π∫-rr y2dx = π∫π0
r2 sin2 t d(r cos t)
= π∫π0 r3 sin2 t (-sin t) dt
= πr3∫0π sin3 t dt
= πr3([-(1/3)sin2 t cos t]0π +
(2/3)∫0π sin t dt)… 公式 漸化式
(3)
= πr3(0 + (2/3)[-cos t]0π)
= (2πr3/3)(-(-1) - (-1))
= (4πr3/3).
練習:
(1) 次の方程式で表される平面曲線を考える (asteroid 星芒形という)。
ｘ = a cos3t, y = a sin3t, 0 ≦ t ≦ 2π, a > 0.
この曲線が囲む面積を求めよ。
(2) 曲線 x = a cos4t, y = a sin4t, 0 ≦ t ≦ π/2, a > 0 を、ｘ 軸の周りに回転してできる回転体の体積を求めよ。
略答: (1) 3πa2/8, (2) πa3/15.