漸化式

積分の漸化式とは, 積分そのものを求めるのではなく, 何らかの形で次数を下げたりする公式のことである。

参照する都合上, ここには漸化式そのものを掲げ, 証明は別 page に載せてある。 勿論これらの公式は両辺を微分することによって, 簡単に証明できる。 しかし高木貞治先生が 「微分のことは微分でせよ」 と言ったように, 積分のことは積分を取らなくてはいけないのである。 そこで部分積分で証明してある。

m, n, p, q が整数でなくとも成立するが, 整数の時にはこの公式でいつかその指数を 0 (又は 1) 迄追い込むことが出来て, 初等函数で積分を表すことが出来るだろう。

(1) , m ≠ 0.

(2) .

(3) , n ≠ 0.

(4) , n ≠ 0.

(5) , n ≠ 0, 1.

(6) , n ≠ 0, 1.

(7) , n ≠ 0, 1.

(8) , n ≠ 0, 1.

(9) I_{p, q} = ∫t^p(at + b)^qdt とするとき

1. (p + q + 1)I_{p, q} = bqI_{p, q-1} + t^p+1(at + b)^q,
2. a(p + q + 1)I_{p, q} = -apI_{p-1, q} + bt^p(at + b)^q-1.

(10) I_{m, n} = ∫sin^mx cosⁿx dx と置くとき

1. (m + n)I_{m, n} = sin^m+1x cos^n-1x + (n - 1)I_{m, n-2},
2. (m + n)I_{m, n} = -sin^m-1x cosⁿ⁺¹x + (m - 1)I_{m-2, n},
3. (n + 1)I_{m, n} = -sin^m+1x cosⁿ⁺¹x + (m + n + 2)I_{m, n+2},
4. (m + 1)I_{m, n} = sin^m+1x cosⁿ⁺¹x + (m + n + 2)I_{m+2, n}.

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