定積分

定積分は以前に述べたように, 微分積分学の基本定理が成り立つから, 殆ど不定積分が出来れば特にここで述べることはない。

しかし置換積分だけは別。 細かい条件もつけて, 更に述べる。 x = φ(t) で

  1. 積分区間 a ≦ x ≦ b だけではなく c ≦ x ≦ d (c < a < b < d) で被積分函数 f(x) は連続
  2. 置換後の函数 φ(t) 及びその微分 φ'(x) は α ≦ t ≦ β で連続で, この範囲で c ≦ φ(t) ≦ d, しかも φ(α) = a, φ(β) = b. 表にすると
x a b
t α β

であるときに

∫abf(x)dx = ∫αβf(φ(t))φ'(t)dt.

仮定によって x = φ(t) である。 ここで f(x) の原始函数の一つを F(x) と置くと,

dF(x) = f(x)dx = f(φ(t))dφ(t) = f(φ(t))φ'(t)dt

である。 ここで一番端同士を見れば φ(α) = a, φ(β) = b に気をつけて微分積分学の基本定理から

F(b) - F(a) = F(φ(β)) - F(φ(α)) = ∫αβf(φ(t))φ'(t)dt.

この式の左辺は当然 ∫abf(x)dx に等しい。

ここの例は, 勿論置換積分にとどまらないので, 幾つかに分けておく。

勿論 「定積分」 と言うものは実際には 「符号付きの面積」 であるということを知っているのだから, graph を念頭に置きながら実行すると, 幾分か計算が楽になることが多い。

復習も兼ねて, 以前の 「積分 1」 の範囲の例も掲げてある。

  1. 単純な例
  2. 置換積分
  3. 部分積分

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