纏め


今後の計算の役に立つように纏めておく。 以下 x は普通の実数である。

1. 大小関係

1.1 -∞ < x - 0 < x < x + 0 < +∞.
1.2 特に -∞ < -0 < 0 < +0 < +∞.

2. 符号則 (プラス, マイナスの法則)

普通通りに成立する。 つまり
(+) × (+) = (+), (+) × (-) = (-),
(-) × (+) = (-), (-) × (-) = (+).
従って以下では + の方しか書いていないことが多い。

3. 加法 (足算)

3.1 x + 0 = (+0) + x ≡x (mod ±0).
3.2 x + ∞ = ∞ + x = ∞.
3.3 (+0) + (+0) = +0.
3.4 (+0) + ∞ = ∞ + 0 = ∞.
3.5 ∞ + ∞ = ∞.

4. 減法 (引算)

4.1 x - 0 ≡ x (mod ±0).
4.2 (+0) - x = -x + 0 ≡ x (mod ±0).
4.3 x - ∞ = -∞.
4.4 ∞ - x = ∞.
4.5 (+0) - (+0) ≡ 0 (mod ±0). (超実数としては不定)
4.6 (+0) - ∞ = -∞.
4.7 ∞ - (+0) = ∞.
4.8 ∞ - ∞ は不定。

5. 乗法 (掛算) ここでは x > 0.

5.1 x × (+0) = (+0) × x = +0.
5.2 x × (+∞) = (+∞) × x = +∞.
5.3 (+0)×(+0) = +0.
5.4 (+0) × ∞ は不定。
5.5 ∞ × ∞ = ∞.

6. 除法 (割算) ここでも x > 0.

6.1 x ÷ (+0) = +∞.
6.2 (+0) ÷ x = +0.
6.3 x ÷ ∞ = +0.
6.4 ∞ ÷ x = ∞.
6.5 (+0) ÷ (+0) は不定。
6.6 (+0) ÷ ∞ = (+0).
6.7 ∞ ÷∞ は不定。

7. 不定形一覧 (これまでに出て来ていないものも, 一応掲げてある)

∞ - ∞, (+0)/(+0), ∞/∞, (+0)(+0), ∞+0, (1 ± 0).

以上。


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