無限級数の収束判定法

実数の公理のところで述べたように, 「有界な単調数列は収束する」。 正項級数は, 各項が正である級数のことだから, 単調増加である。 ということは,

[定理]

正項級数 Σ_n=1 ^∞ a_n が収束する ⇔ 部分和からなる数列 {S_n = Σ_k=1 ⁿ a_k} が有界。

がすぐに分かる。

これから次の二つの判定法が導かれる。

[第一種比較判定法]

或る番号 N 以上 0 ≦ a_n ≦ c_n であって, Σ_n=1 ^∞ c_n が収束する ⇒ Σ_n=1 ^∞ a_n が収束する。

つまり Σ_n=N ^∞ c_n が収束するから Σ_n=N ^∞ a_n ≦  Σ_n=N ^∞ c_n で有界なので, 収束している。 Σ_n=1 ^N-1 a_n は有限和だから問題ないということである。

この対偶を取れば, 或る番号 N 以上 a_n ≧ c_n ≧ 0 で, Σ_n=1 ^∞ c_n が発散する ⇒ Σ_n=1 ^∞ a_n が発散する,  ということになる。

[第二種比較判定法]

或る番号 N 以上 a_n > 0, c_n > 0, a_n+1/a_n ≦ c_n+1/c_n, 且つ Σ_n=1 ^∞ c_n が収束する ⇒ Σ_n=1 ^∞ a_n が収束する。

証明:

仮定より, a_n+1/a_n ≦ c_n+1/c_n だが, この両辺を a_n/c_n+1 (> 0) 倍して a_n+1/c_n+1 ≦ a_n/c_n 即ち, 数列 {a_n/c_n} は番号 N 以上は単調減少である。 つまり a_n/c_n ≦ a_N/c_N だから a_n ≦ (a_N/c_N)c_n. あとは 「第一種比較判定法」 と同様 (a_N/c_N は定数だから) □

この対偶を取れば 或る番号 N 以上  a_n > 0, c_n > 0, a_n+1/a_n ≧ c_n+1/c_n, 且つ Σ_n=1 ^∞ c_n が発散する ⇒ Σ_n=1 ^∞ a_n が発散する。

[Cauchy の冪根判定法]

正項級数 Σ_n=1 ^∞ a_n に対して ならばこれは収束する。

最初にもしも lim sup ⁿ√a_n > 1 ならば発散だが = 1 の時は判定不能であることを注意しておく。

証明:

仮定から, 或る番号 N 以上 ⁿ√a_n ≦ k < 1 となる k が存在する。 ということは a_n ≦ kⁿ で, 0 ≦ k < 1 が存在するのだから, [第一種比較判定法] で c_n として等比級数 kⁿ がとれるということである □

[d'Alembert の判定法] (ダランベール)

正項級数 Σ_n=1 ^∞ a_n に対して ならばこれは収束する。

同様に > 1 ならば発散だが, = 1 ならば判定不能。

証明:

同様にして 或る番号 N 以上 a_n+1/a_n ≦ k = kⁿ⁺¹/kⁿ < 1 となる k が存在する。 即ち [第二種比較判定法] で c_n = kⁿ, 0 ≦ k < 1 がとれるということ □

実は d'Alembert 判定法は計算しやすいが, Cauchy の冪根判定法よりも弱いのである。 それは

[定理]

数列 {a_n} に於いて, a_n > 0 とすると

だからなのだが, この定理の証明は結構面倒なので, {a_n+1/a_n} が有界の場合だけを書いておく。

lim sup a_n+1/a_n = K, lim inf a_n+1/a_n = k と置くと, lim sup の定義から, 適当な番号 N 以上 0 < ε < k を満たす任意の ε で (k - ε) < a_n+1/a_n < (K + ε) がいえる。 従って逐次代入していって N 以上で (k - ε)^{n - N}  < a_n/a_N < (K + ε)^{n - N}. 即ち (k - ε)^{n - N}a_N  < a_n < (K + ε)^{n - N}a_N である。 辺々の n 乗根を採って

(k - ε)・ⁿ√(a_N(k - ε)^-N) < ⁿ√a_n < (K + ε)・ⁿ√(a_N(K + ε)^-N).

n 乗根の極限に書いておくが a > 0 が定数ならば ⁿ√a → 1 (n → ∞) だから, これから

k ≦ lim inf ⁿ√a_n ≦ lim sup ⁿ√a_n ≦ K

となって証明が終わる。

交互に + と - とが現れる級数を, 交代級数 alternating series という。

[定理 Leibniz]

{|a_n|} が減少数列であるような交代級数は収束する。

証明:

Cauchy の判定法によって m > n に対し |Σ_k=n+1^m a_k| ≦ |a_n+1| → 0 (n → ∞) だから □

もう少し分かり易く書くと, a₁ > 0 と仮定して (そうでなければ全体に -1 を掛ければ同様) bn = (-1)^n-1a_n と置くと b_n > 0 で b_n+1 ≦ b_n で S_2n+2 = S_2n + (a_2n+1 + a_2n) = S_2n + (b_2n+1 - b_2n) ≧ S_2n だから {S_2n} は単調増加で, 同様に S_2n+3 = S_2n+1 + (a_2n+2 + a_2n+3) = S_2n+1 + (-b_2n+2 + b_2n+3) = S_2n+1 - (b_2n+2 - b_2n+3) ≦ S_2n+1 即ち {S_2n+1} は単調減少。 だから

S₁ ≧ S₃ ≧ S₅ ≧ … ≧ S_2n+1 ≧ … ≧ S_2n ≧ … ≧ S₆ ≧ S₄ ≧ S₂.

で, {S_2n} も {S_2n+1} も互いに有界な単調数列なので, 共に収束する。 更に S2n+1 - S_2n = a_2n+1 → 0 (n → 0) だからそれらの極限値は等しいので, {S_n} 自体が収束する。

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